Hadamards ojämlikhet

En annan ojämlikhet kallas Hermite-Hadamard-ojämlikheten .

Inom matematik är Hadamards ojämlikhet (även känd som Hadamards sats om determinanter ) ett resultat som först publicerades av Jacques Hadamard 1893. Det är en gräns på determinanten för en matris vars poster är komplexa tal i termer av längden på dess kolumnvektorer. I geometriska termer, när det är begränsat till reella tal, begränsar det volymen i det euklidiska rymden av n dimensioner markerade av för _n vektorer vi 1 ≤ i ≤ n i termer av längden på dessa vektorer || v _i ||.

Specifikt säger Hadamards ojämlikhet att om N är matrisen med kolumner v _i , då

$\left|\det(N)\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|.$

Om de n vektorerna är icke-noll, uppnås likhet i Hadamards olikhet om och endast om vektorerna är ortogonala .

Alternativa former och följder

En följd är att om ingångarna i en n med n matris N begränsas av B , så | N _ij |≤ B för alla i och j , då

$\left|\det(N)\right|\leq B^{n}n^{n/2}.$

I synnerhet om inmatningarna av N är +1 och −1 endast då

$\left|\det(N)\right|\leq n^{n/2}.$

I kombinatorik kallas matriser N för vilka likheten gäller, dvs de med ortogonala kolumner, Hadamard-matriser .

En positiv-halvdefinitiv matris P kan skrivas som N ^* N , där N ^* betecknar den konjugerade transponeringen av N (se Nedbrytning av en halvdefinitiv matris ). Sedan

$\det(P)=\det(N)^{2}\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|^{2}=\prod _{i =1}^{n}p_{ii}.$

Så determinanten för en positiv bestämd matris är mindre än eller lika med produkten av dess diagonala poster. Ibland är detta också känt som Hadamards ojämlikhet.

Bevis

Resultatet är trivialt om matrisen N är singular , så anta att kolumnerna i N är linjärt oberoende. Genom att dividera varje kolumn med dess längd kan man se att resultatet är ekvivalent med specialfallet där varje kolumn har längden 1, med andra ord om e i är enhetsvektorer och _M är matrisen med e _i som kolumner då

$\left|\det M\right|\leq 1,$

 

 

 

 

()

och likhet uppnås om och endast om vektorerna är en ortogonal uppsättning . Det allmänna resultatet är nu:

$\left|\det N\right|={\bigg (}\prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|{\bigg )}\left|\det M\ höger|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|.$

För att bevisa (1) , betrakta P = M ^* M och låt egenvärdena för P vara λ ₁ , λ ₂ , … λ _n . Eftersom längden på varje kolumn av M är 1, är varje post i diagonalen för P 1, så spåret av P är n . Att tillämpa olikheten mellan aritmetiska och geometriska medel ,

$\det P=\prod _{i =1}^{n}\lambda _{i}\leq {\bigg (}{1 \över n}\summa _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\bigg )}^ {n}=\left({1 \over n}\operatörsnamn {tr} P\right)^{n}=1^{n}=1,$

så

$\left|\det M\right|={\sqrt {\det P}}\leq 1.$

Om det finns likhet måste var och en av λ _{i :en} alla vara lika och deras summa är n , så de måste alla vara 1. Matrisen P är hermitisk, därför diagonaliserbar, så det är identitetsmatrisen – med andra ord kolumnerna av M är en ortonormal uppsättning och kolumnerna av N är en ortogonal uppsättning. Många andra bevis finns i litteraturen.

Se även

• Fischers ojämlikhet

Anteckningar

•   Maz'ya, Vladimir; Shaposhnikova, TO (1999). Jacques Hadamard: En universell matematiker . AMS. s. 383ff. ISBN 0-8218-1923-2 .
•   Garling, DJH (2007). Ojämlikheter: En resa till linjär analys . Cambridge. sid. 233 . ISBN 978-0-521-69973-0 .
•   Riesz, Frigyes; Szőkefalvi-Nagy, Béla (1990). Funktionsanalys . Dover. sid. 176. ISBN 0-486-66289-6 .
• Weisstein, Eric W. "Hadamards ojämlikhet" . MathWorld .

Vidare läsning

• Beckenbach, Edwin F; Bellman, Richard Ernest (1965). Ojämlikheter . Springer. sid. 64.