Fischers ojämlikhet

Den här artikeln handlar om determinanter av matriser. För statistisk blockdesignteori, se Fishers ojämlikhet .

I matematik ger Fischers ojämlikhet en övre gräns för determinanten av en positiv-semidefinite matris vars poster är komplexa tal i termer av determinanterna för dess huvudsakliga diagonala block . Antag att A , C är respektive p × p , q × q positiv-semidefinita komplexa matriser och B är en p × q komplex matris. Låta

$M:=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{*}&C\end{matrix}}\right]$

så att M är en ( p + q ) ×( p + q ) matris.

Sedan säger Fischers ojämlikhet det

$\det(M)\leq \det(A)\det(C).$

Om M är positivt-definitiv, uppnås likhet i Fischers olikhet om och endast om alla poster i B är 0. Induktivt kan man dra slutsatsen att en liknande olikhet gäller för en blockuppdelning av M med flera huvudsakliga diagonala block. Med tanke på 1×1 block är en följd av Hadamards ojämlikhet . Å andra sidan kan Fischers ojämlikhet också bevisas genom att använda Hadamards ojämlikhet, se beviset för sats 7.8.5 i Horn och Johnsons Matrix Analysis.

Bevis

Antag att A och C är positivt-definita. Vi har $A^{-1}$ och $C^{-1}$ är positiv-definita. Låta

$D:=\left[{\begin{matrix}A&0\\0&C\end{matrix}}\right].$

Vi noterar att

$D^{-{\frac {1}{2}}}MD^{-{\frac {1}{2}}}=\left[ {\begin{matrix}A^{-{\frac {1}{2}}}&0\\0&C^{-{\frac {1}{2}}}\end{matrix}}\höger]\vänster [{\begin{matrix}A&B\\B^{*}&C\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A^{-{\frac {1}{2}}}&0 \\0&C^{-{\frac {1}{2}}}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}I_{p}&A^{-{\frac {1} {2}}}BC^{-{\frac {1}{2}}}\\C^{-{\frac {1}{2}}}B^{*}A^{-{\frac { 1}{2}}}&I_{q}\end{matrix}}\right]$

Att tillämpa AM-GM-olikheten på egenvärdena för $D^{-{\frac {1}{2}}}MD^{-{\frac {1}{2} }}$ , vi ser

$\det(D ^{-{\frac {1}{2}}}MD^{-{\frac {1}{2}}})\leq \left({1 \over p+q}\mathrm {tr} (D ^{-{\frac {1}{2}}}MD^{-{\frac {1}{2}}})\right)^{p+q}=1^{p+q}=1.$

Genom multiplikativitet av determinant har vi

${\begin{aligned}\det(D^{-{\frac {1}{2}}})\det(M)\det(D^{-{\frac {1}{2}} })\leq 1\\\Longrightarrow \det(M)\leq \det(D)=\det(A)\det(C).\end{aligned}}$

I det här fallet gäller likhet om och endast om M = D , det vill säga alla poster i B är 0.

För $\varepsilon >0$ , eftersom $A+\varepsilon I_{p}$ och $C+\varepsilon I_{q}$ är positiva-definita , vi har

$\det(M+\varepsilon I_{p+q})\leq \det(A+\varepsilon I_{p})\det(C+\varepsilon I_{q}).$

Att ta gränsen som $\varepsilon \rightarrow 0$ bevisar ojämlikheten. Från olikheten noterar vi att om M är inverterbar så är både A och C inverterbara och vi får det önskade likhetsvillkoret.

Förbättringar

Om M kan delas upp i kvadratiska block M _ij , är följande olikhet av Thompson giltig:

$\det(M)\leq \det([\det(M_{ij})])$

där [det( M _ij )] är matrisen vars ( i , j ) post är det( M _ij ).

I synnerhet, om blockmatriserna B och C också är kvadratiska matriser, är följande olikhet av Everett giltig:

$\det(M)\leq \det {\begin{bmatrix}\det(A)&&\ det(B)\\\det(B^{*})&&\det(C)\end{bmatrix}}$

Thompsons olikhet kan också generaliseras av en olikhet i termer av koefficienterna för blockmatrisernas karakteristiska polynom . Uttrycker det karakteristiska polynomet för matrisen A som

$p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t ^{nk}(-1)^{k}\operatörsnamn {tr} (\Lambda ^{k}A)$

och om man antar att blocken M _ij är m x m matriser, är följande olikhet av Lin och Zhang giltig:

$\det(M)\leq \left({\ frac {\det([\operatörsnamn {tr} (\Lambda ^{r}M_{ij}]))}{\binom {m}{r}}}\right)^{\frac {m}{r} },\quad r=1,\ldots ,m$

Observera att om r = m så är denna olikhet identisk med Thompsons olikhet.

Se även

• Hadamards ojämlikhet

Anteckningar

• Fischer, Ernst (1907), "Über den Hadamardschen Determinentsatz", Arch. Matematik. U. Phys. (3) , 13 :32–40 .
•   Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012), Matrix Analysis , doi : 10.1017/cbo9781139020411 , ISBN 9781139020411 .