Haagerup fastighet

Inom matematiken är Haagerup -egenskapen , uppkallad efter Uffe Haagerup och även känd som Gromovs aT-menability , en egenskap hos grupper som är en stark negation av Kazhdans egenskap (T) . Egenskap (T) anses vara en representationsteoretisk form av stelhet, så Haagerup-egenskapen kan anses vara en form av stark icke-styvhet; se nedan för detaljer.

Haagerup-egenskapen är intressant för många områden inom matematiken, inklusive harmonisk analys , representationsteori , operator K-teori och geometrisk gruppteori .

Dess kanske mest imponerande konsekvens är att grupper med Haagerup-fastigheten uppfyller Baum-Connes-förmodan och den relaterade Novikov-förmodan . Grupper med Haagerup-fastigheten är också enhetligt inbäddade i ett Hilbert-utrymme .

Definitioner

Låt $G$ vara en andra räknebar lokalt kompakt grupp . Följande egenskaper är alla likvärdiga, och vilken som helst av dem kan anses vara definitioner av Haagerup-egendomen:

1. Det finns en korrekt kontinuerlig villkorligt negativ definitiv funktion $\Psi \colon G\to \mathbb {R} ^{+}$ .
2. $G$ har Haagerup approximationsegenskapen , även känd som egenskap $C_{0}$ : det finns en sekvens av normaliserade kontinuerliga positiva-definita funktioner $\phi _{n}$ som försvinna i oändlighet på $G$ och konvergera till 1 enhetligt på kompakta delmängder av $G$ .
3. Det finns en starkt kontinuerlig enhetlig representation av $G$ som svagt innehåller den triviala representationen och vars matriskoefficienter försvinner i oändlighet på $G$ .
4. Det finns en korrekt kontinuerlig affin isometrisk verkan av $G$ på ett Hilbert-utrymme .

Exempel

Det finns många exempel på grupper med Haagerup-fastigheten, varav de flesta är geometriska till sitt ursprung. Listan innehåller:

• Alla kompakta grupper (trivialt). Observera att alla kompakta grupper också har egenskap (T) . Det omvända gäller också: om en grupp har både egenskapen (T) och Haagerup-egenskapen, så är den kompakt.
• SO(n,1)
• SU(n;1)
• Grupper som fungerar korrekt på träd eller på $\mathbb {R}$ -träd
• Coxeter grupper
• Mottagliga grupper
• Grupper som agerar korrekt på CAT(0) kubiska komplex

Källor

•    Cherix, Pierre-Alain; Cowling, Michael; Jolissaint, Paul; Julg, Pierre; Valette, Alain (2001), Grupper med Haagerupfastigheten. Gromovs attityd. , Progress in Mathematics, vol. 197, Basel: Birkhäuser Verlag, doi : 10.1007/978-3-0348-8237-8 , ISBN 3-7643-6598-6 , MR 1852148