Gupta–Bleuler formalism

I kvantfältteorin är Gupta –Bleuler-formalismen ett sätt att kvantisera det elektromagnetiska fältet . Formuleringen beror på teoretiska fysiker Suraj N. Gupta och Konrad Bleuler .

Översikt

För det första, överväga en enda foton . En bas för en-foton-vektorrymden (det förklaras varför det inte är ett Hilbert-rum nedan) ges av egentillstånden $|k,\epsilon _{\mu }\rangle$ där $k$ , 4- momentumet är noll ( $k^{2}=0$ ) och $k_{0}$ -komponenten, energin, är positiv och $\epsilon _{\mu }$ är enhetens polarisationsvektor och indexet $\mu$ sträcker sig från 0 till 3. Så $k$ bestäms unikt av det rumsliga momentumet ${\vec {k}}$ . Med hjälp av bra–ket-notationen är detta utrymme utrustat med en sesquilinjär form definierad av

$\langle {\vec {k}}_{a};\epsilon _{\mu }|{\vec {k}}_{b};\epsilon _ {\nu }\rangle =(-\eta _{\mu \nu })\,2|{\vec {k}}_{a}|\,\delta ({\vec {k}}_{a }-{\vec {k}}_{b})$ ,

där $2|{\vec {k}}_{a}|$ faktor är att implementera Lorentz-kovarians . Den metriska signaturen som används här är +−−−. Denna sesquilinjära form ger dock positiva normer för rumsliga polarisationer men negativa normer för tidsliknande polarisationer. Negativa sannolikheter är opysiska, för att inte tala om en fysisk foton har bara två tvärgående polarisationer, inte fyra.

Om man inkluderar gauge-kovarians, inser man att en foton kan ha tre möjliga polarisationer (två tvärgående och en longitudinell (dvs. parallell med 4-momentet)). Detta ges av begränsningen $k\cdot \epsilon =0$ . Den longitudinella komponenten är emellertid bara en opysisk mätare. Även om det skulle vara trevligt att definiera en strängare begränsning än den ovan som bara lämnar de två tvärgående komponenterna, är det lätt att kontrollera att detta inte kan definieras på ett Lorentz-kovariant sätt eftersom det som är tvärgående i en referensram inte är inte tvärgående längre i en annan.

För att lösa denna svårighet, titta först på underrummet med tre polarisationer. Den sesquilinjära formen begränsad till den är bara semidefinite , vilket är bättre än obestämd. Dessutom visar sig delutrymmet med nollnorm vara ingen annan än mätarens frihetsgrader. Så, definiera det fysiska Hilbert-utrymmet till att vara kvotutrymmet för de tre polarisationsunderrymden med dess nollnormunderrymd. Detta utrymme har en positiv bestämd form, vilket gör det till ett riktigt Hilbert-utrymme.

Denna teknik kan på liknande sätt utvidgas till det bosoniska Fock-utrymmet av multipartikelfotoner. Genom att använda standardtricket för adjoint skapande och förintelseoperatorer , men med detta kvottrick, kan man formulera en frifältsvektorpotential som en operatorvärderad distribution $\displaystyle A}$ { som uppfyller

$\partial ^{\mu }\partial _{\mu }A=0$

med tillståndet

$\langle \chi |\partial ^{\mu }A_{\mu }|\psi \rangle =0$

för fysiska tillstånd $|\chi \rangle$ och $|\psi \rangle$ i Fock-utrymmet (det är underförstått att fysiska tillstånd verkligen är ekvivalensklasser av tillstånd som skiljer sig åt med ett tillstånd av nollnorm).

Det här är inte samma sak som

$\partial ^{\mu }A_{\mu }=0$ .

Observera att om O är någon mätinvariant operator,

$\langle \chi |O|\psi \rangle$

beror inte på valet av representanterna för ekvivalensklasserna, så denna kvantitet är väldefinierad.

Detta är inte sant för icke-mätare-invarianta operatörer i allmänhet eftersom Lorenz-mätaren fortfarande lämnar kvarvarande spårviddsgrader av frihet.

I en interagerande teori om kvantelektrodynamik gäller fortfarande Lorenz-mätarvillkoret, men $A$ uppfyller inte längre ekvationen för fria vågor.

Se även

• BRST formalism
• Quantum gauge teori
• Kvantelektrodynamik
• ξ mätare

Anteckningar

• Bleuler, K. (1950), "Eine neue Methode zur Behandlung der longitudinalen und skalaren Photonen", Helv. Phys. Acta (på tyska), 23 (5): 567–586, doi : 10.5169/seals-112124 (pdf-nedladdning tillgänglig) {{ citation }} : CS1 underhåll: efterskrift ( länk )
• Gupta, S. (1950), "Theory of Longitudinal Photons in Quantum Electrodynamics", Proc. Phys. Soc. , 63A (7): 681–691, Bibcode : 1950PPSA...63..681G , doi : 10.1088/0370-1298/63/7/301