Grundmodell

Baslagermodellen är en statistisk modell inom inventeringsteorin . I denna modell fylls lagret på en enhet i taget och efterfrågan är slumpmässig . Om det bara finns en påfyllning kan problemet lösas med nyhetsleverantörsmodellen .

Översikt

Antaganden

1. Produkter kan analyseras individuellt
2. Begäran sker en i taget (inga batchordrar)
3. Ouppfylld efterfrågan restbeställs (ingen förlorad försäljning)
4. Ledtiderna för påfyllning är fasta och kända
5. Påfyllning beställs en i taget
6. Efterfrågan modelleras av en kontinuerlig sannolikhetsfördelning

Variabler

• $L$ = Ledtid för påfyllning
• $X$ = Efterfrågan under ledtid för påfyllning
• $g(x)$ = sannolikhetstäthetsfunktion för efterfrågan under ledtid
• $G(x)$ = kumulativ fördelningsfunktion för efterfrågan under ledtid
• $\theta$ = genomsnittlig efterfrågan under ledtid
• $h$ = kostnad för att bära en lagerenhet under 1 år
• $b$ = kostnad för att bära en enhet av restorder under 1 år
• $r$ = omordningspunkt
• ${\displaystyle SS=r-\theta$ } , säkerhetslagernivå
• $S(r)$ = fyllnadsgrad
• $B(r)$ = genomsnittligt antal utestående restorder
• $I(r)$ = genomsnittlig beställningsnivå

Fyllnadsgrad, restordernivå och lagernivå

I ett baslagersystem ges lagerpositionen av befintliga lager-restaorder+order och eftersom lagret aldrig blir negativt, lagerposition=r+1. När en order väl har lagts är baslagernivån r+1 och om X≤r+1 blir det ingen restorder. Sannolikheten att en order inte resulterar i restorder är därför:

$P(X\leq r+1)=G(r+1)$

Eftersom detta gäller för alla beställningar är fyllningsgraden:

$S(r)=G(r+1)$

Om efterfrågan är normalfördelad ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\theta ,\,\sigma ^{2})} ,$ ges fyllnadsgraden av:

$S(r)=\phi \left({\frac {r+1-\theta }{\sigma }}\right)$

Där $\phi ()$ är kumulativ fördelningsfunktion för standardnormalen . Vid vilken tidpunkt som helst finns det beställningar som är lika med efterfrågan X som har inträffat, därför tillgängliga lager-restaorder=lagerposition-order=r+1-X. I väntan betyder detta:

$I(r)=r+1-\theta +B(r)$

I allmänhet är antalet utestående order X=x och antalet restorder är:

$Backorders={\begin{cases}0,&x<r+1\\xr -1,&x\geq r+1\end{cases}}$

Den förväntade restordernivån ges därför av:

$B(r)=\int _{r}^{+\infty }\left(xr-1\right)g(x)dx=\int _{r+1}^{+\infty }\left(xr\right)g(x) dx$

Återigen, om efterfrågan är normalt fördelad:

$B(r)=(\theta -r)[1-\phi (z)]+\sigma \phi (z)$

Där $z$ är den inversa fördelningsfunktionen för en standardnormalfördelning .

Totalkostnadsfunktion och optimal beställningspunkt

Den totala kostnaden ges av summan av innehavskostnader och restorderkostnader:

$TC=hI(r)+bB(r)$

Det kan bevisas att:

$G(r^{*}+1)={\frac {b}{b+h}}$

Där r* är den optimala omordningspunkten.

Bevis
${\frac {dTC}{dr}}=h+(b+h){\frac {dB}{dr}}$ ${\frac {dB}{dr}}={\frac {d}{dr}}\int _{r+1}^{+\infty }(xr-1)g(x) dx=-\int _{r+1}^{+\infty }g(x)dx=-[1-G(r+1)]$ För att minimera TC sätter förstaderivatan lika med noll: ${\frac {dTC}{dr}}=h-(b+h)[1-G( r+1)]=0$ Och lös för G(r+1).

Om efterfrågan är normal kan r* erhållas genom:

$r^{*}+1=\theta +z\sigma$

Se även

• Oändlig fyllnadsgrad för den del som produceras: Ekonomisk orderkvantitet
• Konstant fyllnadsgrad för den del som produceras: Ekonomisk produktionskvantitet
• Efterfrågan är slumpmässig: klassisk Newsvendor-modell
• Kontinuerlig påfyllning med restorder: (Q,r) modell
• Efterfrågan varierar deterministiskt över tiden: Dynamisk partistorleksmodell
• Flera produkter producerade på samma maskin: Ekonomiskt parti schemaläggningsproblem