Nyhetssäljare modell

Nyhetssäljaren (eller tidningsbok eller en period eller räddningsbar ) modellen är en matematisk modell inom driftledning och tillämpad ekonomi som används för att bestämma optimala lagernivåer. Den kännetecknas (typiskt) av fasta priser och osäker efterfrågan på en färskvara. Om lagernivån är $q$ förloras varje efterfrågeenhet över ${\displaystyle q} i potentiell försäljning.$ Denna modell är också känd som nyhetsförsäljarproblem eller tidningspojkeproblem i analogi med situationen för en tidningsförsäljare som måste bestämma hur många exemplar av dagens tidning som ska lagras inför osäker efterfrågan och med vetskapen om att osålda exemplar kommer att vara värdelösa på slutet på dagen.

Historia

Skiss från 1902 av en man som köper av en tidningspojke i New York

Det matematiska problemet verkar härstamma från 1888 där Edgeworth använde den centrala gränssatsen för att bestämma de optimala kassareserverna för att tillfredsställa slumpmässiga uttag från insättare. Enligt Chen, Cheng, Choi och Wang (2016) nämndes termen "newsboy" först i ett exempel på Morse and Kimballs (1951) bok. Den moderna formuleringen relaterar till en artikel i Econometrica av Kenneth Arrow , T. Harris och Jacob Marshak .

Nyare forskning om det klassiska nyhetsförsäljarproblemet fokuserade särskilt på beteendeaspekter: när man försöker lösa problemet i röriga verkliga sammanhang, i vilken utsträckning skiljer sig beslutsfattare systematiskt från det optimala? Experimentell och empirisk forskning har visat att beslutsfattare tenderar att vara partiska mot att beställa för nära den förväntade efterfrågan (pull-to-center-effekt) och för nära förverkligandet från föregående period (efterfrågan jagar).

Översikt

Denna modell kan även tillämpas på periodöversiktssystem.

Antaganden

Produkterna är separerbara
Planering görs för en enda period
Efterfrågan är slumpmässig
Leveranser sker i förväg på begäran
Kostnader för över- eller minderåriga är linjära

Vinstfunktion och den kritiska fraktila formeln

Den vanliga vinstfunktionen för nyhetsförsäljare är

\operatörsnamn {E} [{\text{profit}}]=\operatörsnamn {E} \left[p\min( q,D)\right]-cq

där $D$ är en slumpvariabel med sannolikhetsfördelning $F$ som representerar efterfrågan, säljs varje enhet för pris $p$ och köps för pris $c$ , $q$ är antalet enheter i lager, och $E$ är förväntningsoperatorn . Lösningen på den optimala lagerkvantiteten för nyhetsleverantören som maximerar förväntad vinst är:

Kritisk fraktil formel

$q=F^{-1}\left({\frac {pc}{p}}\right)$

där $F^{-1}$ anger den generaliserade inversa kumulativa fördelningsfunktionen för $D$ .

Intuitivt balanserar detta förhållande, som kallas den kritiska fraktilen , kostnaden för att vara underlager (en förlorad försäljningsvärde ${\displaystyle (pc)} )$ och de totala kostnaderna för att vara antingen över- eller underlager (där kostnaden att vara överlager är lagerkostnaden, eller $c$ så den totala kostnaden är helt enkelt $p$ ).

Den kritiska fraktila formeln är känd som Littlewoods regel i litteraturen om avkastningshantering .

Numeriska exempel

I följande fall, anta att försäljningspriset, $p$ , är $7 per enhet och att inköpspriset är ${\displaystyle c}$ , är $5 per enhet. Detta ger en kritisk fraktil av ${\frac {pc}{p}}={\frac {7-5}{7}}={\frac {2 }{7}}$

Jämn fördelning

Låt efterfrågan, $D$ , följa en enhetlig fördelning (kontinuerlig) mellan $D_{\min }=50$ och $D_{\max }=80$ .

q_{\text{opt}}=F ^{-1}\left({\frac {7-5}{7}}\right)=F^{-1}\left(0.285\right)=D_{\min }+(D_{\max } -D_{\min })\cdot 0.285=58.55\approx 59.

Därför är den optimala lagernivån cirka 59 enheter.

Normal distribution

Låt efterfrågan, $D$ , följa en normalfördelning med ett medelvärde, $\mu$ , krav på 50 och en standardavvikelse , $\sigma$ , på 20.

q_{\text{opt}}=F^ -1}\left({\frac {7-5}{7}}\right)=\mu +\sigma Z^{-1}\left(0.285\right)=50+20(-0.56595)=38.68 \ca 39.

Därför är den optimala lagernivån cirka 39 enheter.

Lognormalfördelning

Låt efterfrågan, $D$ , följa en lognormalfördelning med ett medelbehov på 50, $\mu$ , och en standardavvikelse , $\sigma$ , på 0,2.

{\textstyle{q_}{\textstyle{q_}{t F^{-1}\left({\frac {7-5}{7}}\right)=\mu e^{Z^{-1}\left(0.285\right)\sigma }=50e^{ \left(0.2\cdot (-0.56595)\right)}=44.64\ca 45.}

Därför är den optimala lagernivån cirka 45 enheter.

Extrem situation

Om $p<c$ (dvs. försäljningspriset är lägre än inköpspriset) blir täljaren negativ. I den här situationen är det inte värt att ha några föremål i inventeringen.

Härledning av optimal lagernivå

Kritisk fraktil formel

För att härleda den kritiska fraktilformeln, börja med $\operatörsnamn {E} \left[{\min\{q,D\}}\right]$ och villkor för händelsen $D\leq q$ :

{\begin{aligned}&\operatörsnamn {E} [\min\{q,D\}]=\operatörsnamn {E} [\min\{q,D \}\mid D\leq q]\operatörsnamn {P} (D\leq q)+\operatörsnamn {E} [\min\{q,D\}\mid D>q]\operatörsnamn {P} (D> q)\\[6pt]={}&\operatörsnamn {E} [D\mid D\leq q]F(q)+\operatörsnamn {E} [q\mid D>q][1-F(q) ]=\operatörsnamn {E} [D\mid D\leq q]F(q)+q[1-F(q)]\end{aligned}}

Använd nu

\operatörsnamn {E} [D\mid D\leq q]= {\frac {\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx}{\int \limits _{x\leq q}f(x)\,dx}},

där $f(x)=F'(x)$ . Nämnaren för detta uttryck är $F(q)$ , så nu kan vi skriva:

\operatörsnamn {E} [\min\{q,D\} ]=\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx+q[1-F(q)]

Så $\operatörsnamn {E} [{\text{profit}}] =p\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx+pq[1-F(q)]-cq$

Ta derivatan med avseende på $q$ :

{\frac {\partial }{\partial q}}\operatörsnamn {E} [{\text{profit}}]=pqf(q)+pq(-F'(q))+p[1- F(q)]-c=p[1-F(q)]-c

Optimera nu: $p\left[1-F(q^{*})\right]-c=0\Rightarrow 1-F(q^{*})={\frac {c}{p}}\Rightarrow F(q^{*})={\frac {pc}{p}}\Rightarrow q^{*}=F^{-1}\left({\frac {pc}{p}}\right)$

Tekniskt sett bör vi också kontrollera konvexitet: ${\frac {\partial ^{2}}{\partial q^{2 }}}\operatörsnamn {E} [{\text{profit}}]=p[-F'(q)]$

Eftersom $F$ är monoton icke-minskande, är denna andraderivata alltid icke-positiv, så den kritiska punkten som bestäms ovan är ett globalt maximum.

Alternativ formulering

Problemet ovan är gjutet som ett av att maximera vinsten, även om det kan gjutas något annorlunda, med samma resultat. Om efterfrågan D överstiger den angivna kvantiteten q, representerar en alternativkostnad på $(Dq)(pc)$ förlorad intäkt som inte realiserats på grund av brist på lager. Å andra sidan, om $D\leq q$ , då (eftersom varorna som säljs är ömtåliga), finns det en överkostnad på $(qD)c$ . Detta problem kan också ställas till att minimera förväntningarna på summan av alternativkostnaden och överdriftskostnaden, med tanke på att endast en av dessa någonsin uppstår för någon speciell realisering av D {\displaystyle $}$ . Utledningen av detta är som följer:

{\begin{aligned}&\operatörsnamn {E} [{ \text{möjlighetskostnad}}+{\text{överkostnad}}]\\[6pt]={}&\operatörsnamn {E} [{\text{överdriven kostnad}}\mid D\leq q]\operatörsnamn { P} (D\leq q)+\operatörsnamn {E} [{\text{möjlighetskostnad}}\mid D>q]\operatörsnamn {P} (D>q)\\[6pt]={}&\operatörsnamn {E} [(qD)c\mid D\leq q]F(q)+\operatörsnamn {E} [(Dq)(st)\midt D>q][1-F(q)]\\[6pt ]={}&c\operatörsnamn {E} [qD\mid D\leq q]F(q)+(pc)\operatörsnamn {E} [Dq\mid D>q][1-F(q)]\\ [6pt]={}&cqF(q)-c\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx+(pc)[\int \limits _{x>q}xf(x)\, dx-q(1-F(q))]\\[6pt]={}&p\int \limits _{x>q}xf(x)\,dx-pq(1-F(q))-c \int \limits _{x>q}xf(x)\,dx+cq(1-F(q))+cqF(q)-c\int \limits _{x\leq q}xf(x)\ ,dx\\[6pt]={}&p\int \limits _{x>q}xf(x)\,dx-pq+pqF(q)+cq-c\operatörsnamn {E} [D]\end{ Justerat}}

Derivatan av detta uttryck, med avseende på $q$ , är

{\frac {\partial }{\partial q}}\operatörsnamn {E} [{\text{möjlighetskostnad}}+{\text{överdriven kostnad}}]=p(-qf(q))- p+pqF'(q)+pF(q)+c=pF(q)+cp

Detta är uppenbarligen det negativa med derivatan som kommit fram till ovan, och detta är en minimering istället för en maximeringsformulering, så den kritiska punkten kommer att vara densamma.

Kostnadsbaserad optimering av lagernivå

Antag att "nyhetsleverantören" i själva verket är ett litet företag som vill producera varor till en osäker marknad. I denna mer allmänna situation kan kostnadsfunktionen för nyhetsförsäljaren (företaget) formuleras på följande sätt:

K(q)=c_ {f}+c_{v}(qx)+p\operatörsnamn {E} \left[\max(Dq,0)\right]+h\operatörsnamn {E} \left[\max(qD,0)\right ]

där de individuella parametrarna är följande:

$c_{f}$ – fast kostnad. Denna kostnad finns alltid när produktionen av en serie påbörjas. [$/produktion]
$c_{v}$ – rörlig kostnad. Denna kostnadstyp uttrycker produktionskostnaden för en produkt. [$/produkt]
$q$ – produktkvantiteten i inventeringen. Lagerkontrollpolicyns beslut gäller produktkvantiteten i lagret efter produktbeslutet. Den här parametern inkluderar också den initiala inventeringen. Om inget produceras så är denna kvantitet lika med den initiala kvantiteten, dvs gällande det befintliga lagret.
$x$ – initial lagernivå. Vi antar att leverantören har $x$ produkter i lagret i början av efterfrågan på leveransperioden.
$p$ – straffavgift (eller restorderkostnad). Om det finns mindre råvara i lagret än vad som behövs för att tillgodose kraven är detta straffkostnaden för de otillfredsställda beställningarna. [$/produkt]
$D$ – en slumpvariabel med kumulativ fördelningsfunktion $F$ som representerar osäker kundefterfrågan. [enhet]
$E[D]$ – förväntat värde för slumpvariabel $D$ .
$h$ – lager- och lagerkostnad. [$ / produkt]

I ${\displaystyle K(q)} fångar$ första ordningens förlustfunktion $E\left[\max(Dq,0)\right]$ den förväntade brist på kvantitet; dess komplement, $E\left[\max(qD,0)\right]$ anger den förväntade produktkvantiteten i lager i slutet av perioden.

På basis av denna kostnadsfunktion är bestämningen av den optimala lagernivån ett minimeringsproblem. Så i det långa loppet kan mängden kostnadsoptimal slutprodukt beräknas utifrån följande relation:

q_{\text{opt}}=F^{-1}\left({\frac {p-c_{v}}{p+ h}}\right)

Se även

Oändlig fyllnadsgrad för den del som produceras: Ekonomisk orderkvantitet
Konstant fyllnadsgrad för den del som produceras: Ekonomisk produktionskvantitet
Efterfrågan varierar över tiden: Dynamisk partistorleksmodell
Flera produkter producerade på samma maskin: Ekonomiskt parti schemaläggningsproblem
Beställningspunkt
Lagerkontrollsystem
Utökad nyhetssäljarmodell

^ ^a ^b William J. Stevenson, Operations Management. 10:e upplagan, 2009; sida 581
^ FY Edgeworth (1888). "Den matematiska teorin om bankverksamhet". Journal of the Royal Statistical Society . 51 (1): 113–127. JSTOR 2979084 .
^ Guillermo Gallego (18 januari 2005). "IEOR 4000 Production Management Lecture 7" (PDF) . Columbia University . Hämtad 30 maj 2012 .
^ RR Chen; TCE Cheng; TM Choi; Y. Wang (2016). "Nya framsteg i tillämpningar av Newsvendor Model". Beslutsvetenskaper . 47 : 8–10. doi : 10.1111/deci.12215 .
^ KJ Arrow, T. Harris, Jacob Marshak, Optimal Inventory Policy, Econometrica 1951
^ Schweitzer, MIG; Cachon, GP (2000). "Beslutsbias i nyhetsleverantörens problem med en känd efterfrågedistribution: Experimentellt bevis". Management Science . 43 (3): 404–420. doi : 10.1287/mnsc.46.3.404.12070 .
^ Lau, N.; Bearden, JN (2013). "Nyhetsleverantörens efterfrågan jagar återbesökt". Management Science . 59 (5): 1245–1249. doi : 10.1287/mnsc.1120.1617 .
^ WH Hopp, ML Spearman, Factory Physics, Waveland Press 2008
^ Axsäter, Sven (2015). Inventory Control (3:e upplagan). Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-15729-0 .

Vidare läsning

Ayhan, Hayriye, Dai, Jim, Foley, RD, Wu, Joe, 2004: Newsvendor Notes, ISyE 3232 Stochastic Manufacturing & Service Systems. [1]
Tsan-Ming Choi (Ed.) Handbook of Newsvendor Problems: Models, Extensions and Applications, i Springer's International Series in Operations Research and Management Science, 2012.

[stevenson-1] William J. Stevenson, Operations Management. 10:e upplagan, 2009; sida 581

[2] FY Edgeworth (1888). "Den matematiska teorin om bankverksamhet". Journal of the Royal Statistical Society . 51 (1): 113–127. JSTOR 2979084 .

[3] Guillermo Gallego (18 januari 2005). "IEOR 4000 Production Management Lecture 7" (PDF) . Columbia University . Hämtad 30 maj 2012 .

[4] RR Chen; TCE Cheng; TM Choi; Y. Wang (2016). "Nya framsteg i tillämpningar av Newsvendor Model". Beslutsvetenskaper . 47 : 8–10. doi : 10.1111/deci.12215 .

[5] KJ Arrow, T. Harris, Jacob Marshak, Optimal Inventory Policy, Econometrica 1951

[6] Schweitzer, MIG; Cachon, GP (2000). "Beslutsbias i nyhetsleverantörens problem med en känd efterfrågedistribution: Experimentellt bevis". Management Science . 43 (3): 404–420. doi : 10.1287/mnsc.46.3.404.12070 .

[7] Lau, N.; Bearden, JN (2013). "Nyhetsleverantörens efterfrågan jagar återbesökt". Management Science . 59 (5): 1245–1249. doi : 10.1287/mnsc.1120.1617 .

[FacPhy-8] WH Hopp, ML Spearman, Factory Physics, Waveland Press 2008

[9] Axsäter, Sven (2015). Inventory Control (3:e upplagan). Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-15729-0 .