(Q,r) modell

(Q,r)-modellen är en klass av modeller inom inventeringsteorin . En generell (Q,r) modell kan utökas från både EOQ -modellen och basmodellen

Översikt

Antaganden

1. Produkter kan analyseras individuellt
2. Begäran sker en i taget (inga batchordrar)
3. Ouppfylld efterfrågan restbeställs (ingen förlorad försäljning)
4. Ledtiderna för påfyllning är fasta och kända
5. Påfyllning beställs en i taget
6. Efterfrågan modelleras av en kontinuerlig sannolikhetsfördelning
7. Det finns en fast kostnad förknippad med en påfyllningsorder
8. Det finns en begränsning för antalet påfyllnadsorder per år

Variabler

• $D$ = Förväntad efterfrågan per år
• $\ell$ = Ledtid för påfyllning
• $X$ = Efterfrågan under ledtid för påfyllning
• $g(x)$ = sannolikhetstäthetsfunktion för efterfrågan under ledtid
• $G(x)$ = kumulativ fördelningsfunktion för efterfrågan under ledtid
• $\theta$ = genomsnittlig efterfrågan under ledtid
• $A$ = installations- eller inköpsorderkostnad per påfyllning
• $c$ = produktionskostnad per enhet
• $h$ = årlig enhetskostnad
• $k$ = kostnad per lager
• $b$ = årlig restorderkostnad
• $Q$ = påfyllnadsmängd
• $r$ = omordningspunkt
• ${\displaystyle SS=r-\theta$ } , säkerhetslagernivå
• $F(Q,r)$ = ordningsfrekvens
• $S(Q,r)$ = fyllningsgrad
• $B(Q,r)$ = genomsnittligt antal utestående restorder
• $I(Q,r)$ = genomsnittlig lagernivå

Kostar

Antalet beställningar per år kan beräknas som ${\displaystyle F(Q,r)={\frac {D}{Q}}} ,$ den årliga fasta orderkostnaden är F(Q ,r)A. Fyllningsgraden ges av:

$S(Q,r)={\frac {1}{Q}}\int _{r}^{r+ Q}G(x)dx$

Den årliga lagerkostnaden är proportionell mot D[1 - S(Q,r)], med fyllnadsgraden:

$S(Q,r)={ \frac {1}{Q}}\int _{r}^{r+Q}G(x)dx=1-{\frac {1}{Q}}[B(r))-B(r+ Q)]$

Lagerhållningskostnaden är $hI(Q,r)$ , varvid genomsnittligt lager är:

$I(Q,r)={\frac {Q+1}{2}}+r-\theta + B(Q,r)$

Restorderkostnadsmetod

Den årliga restorderkostnaden är proportionell mot restordernivån:

$B(Q,r)={\frac {1}{Q}}\int _{r}^{ r+Q}B(x+1)dx$

Totalkostnadsfunktion och optimal beställningspunkt

Den totala kostnaden ges av summan av installationskostnader, inköpsorderkostnad, restorderkostnad och lagerkostnad:

$Y(Q,r)={\frac {D}{Q}}A+bB( Q,r)+hI(Q,r)$

Den optimala återbeställningskvantiteten och optimala återbeställningspunkten ges av:

$Q^{*}={\sqrt {\frac {2AD}{h}}}$

$G(r^{*})={\frac {b}{b+h}}$

Bevis
För att minimera ställ in de partiella derivatorna av Y lika med noll: ${\frac {\partial Y}{\partial Q}}=-{\frac {DA}{Q^{2}}}+{\ frac {h}{2}}=0$ ${\frac {\partial Y}{\partial r}}=h+(b+h){\frac {dB}{dr} }=0$ ${\ frac {dB}{dr}}={\frac {d}{dr}}\int _{r}^{+\infty }(xr)g(x)dx=-\int _{r}^{+ \infty }g(x)dx=-[1-G(r)]$ ${\frac {\partial Y}{\partial r}}=h-(b+h)[1-G (r)]=0$ Och lös för G(r) och Q.

Normal distribution

I fallet är ledtidsefterfrågan normalt fördelad:

$r^{*}=\theta +z\sigma$

Lagerkostnadsmetod

Den totala kostnaden ges av summan av installationskostnader, inköpsorderkostnad, lagerkostnad och lagerkostnad:

$Y(Q,r)={\frac {D}{Q} }A+kD[1-S(Q,r)]+hI(Q,r)$

Det som förändras med detta tillvägagångssätt är beräkningen av den optimala omordningspunkten:

$G(r^{*})={\frac {kD}{kD+hQ}}$

Variabilitet i ledtid

X är den slumpmässiga efterfrågan under ledtiden för påfyllning:

$X=\summa _{t=1}^{L}D_{t}$

I väntan :

$\operatörsnamn {E} [X]=\operatörsnamn {E} [L]\operatörsnamn {E} [D_{ t}]=\ell d=\theta$

Variationen i efterfrågan ges av:

$\operatörsnamn {Var} ( x)=\operatörsnamn {E} [L]\operatörsnamn {Var} (D_{t})+\operatörsnamn {E} [D_{t}]^{2}\operatörsnamn {Var} (L)=\ell \ sigma _{D}^{2}+d^{2}\sigma _{L}^{2}$

Därför är standardavvikelsen :

$\sigma ={\sqrt {\operatörsnamn {Var} (X)}}={\sqrt {\ell \sigma _{D }^{2}+d^{2}\sigma _{L}^{2}}}$

Poissonfördelning

om efterfrågan är Poisson distribuerad :

$\sigma ={\sqrt {\ell \sigma _{D}^{2}+d^{2}\sigma _{L}^{2}}}={\sqrt {\theta +d^{2}\sigma _{L}^{2}}}$

Se även

• Oändlig fyllnadsgrad för den del som produceras: Ekonomisk orderkvantitet
• Konstant fyllnadsgrad för den del som produceras: Ekonomisk produktionskvantitet
• Efterfrågan är slumpmässig: klassisk Newsvendor-modell
• Efterfrågan är slumpmässig, kontinuerlig påfyllning: Baslagermodell
• Efterfrågan varierar deterministiskt över tiden: Dynamisk partistorleksmodell
• Flera produkter producerade på samma maskin: Ekonomiskt parti schemaläggningsproblem