Grad av en algebraisk sort
Inom matematik är graden av en affin eller projektiv variation av dimension n antalet skärningspunkter för varieteten med n hyperplan i allmän position . För en algebraisk uppsättning måste skärningspunkterna räknas med deras skärningsmångfald , på grund av möjligheten till flera komponenter. För (oreducerbara) sorter, om man tar hänsyn till mångfalden och, i det affina fallet, punkterna vid oändligheten, kan hypotesen om allmän position ersättas av det mycket svagare villkoret att skärningspunkten för sorten har dimensionen noll (att är, består av ett ändligt antal punkter). Detta är en generalisering av Bézouts sats (För ett bevis, se Hilbert-serien och Hilbert-polynomen § Graden av en projektiv varietet och Bézouts sats ) .
Graden är inte en inneboende egenskap hos sorten, eftersom den beror på en specifik inbäddning av sorten i ett affint eller projektivt utrymme.
Graden av en hyperyta är lika med den totala graden av dess definierande ekvation. En generalisering av Bézouts sats hävdar att om en skärning av n projektiva hyperytor har en kodimension n , så är skärningsgraden produkten av hyperytornas grader.
Graden av en projektiv varietet är utvärderingen vid 1 av täljaren för Hilbert-serien av dess koordinatring . Av detta följer att, givet ekvationerna för varieteten, graden kan beräknas från en Gröbner-bas av idealet för dessa ekvationer.
Definition
För V inbäddat i ett projektivt utrymme Pn och definierat över något algebraiskt slutet fält K , är graden d av V antalet skärningspunkter för V , definierat över K , med ett linjärt delrum L i allmän position , så att
Här är dim( V ) dimensionen för V , och samdimensionen för L kommer att vara lika med den dimensionen. Graden d är en yttre storhet och inte inneboende som en egenskap hos V . Till exempel har den projektiva linjen en (väsentligen unik) inbäddning av grad n i P n .
Egenskaper
Graden av en hyperyta F = 0 är densamma som den totala graden av det homogena polynomet F som definierar den (beviljas, om F har upprepade faktorer, att skärningsteorin används för att räkna skärningar med multiplicitet , som i Bézouts sats ).
Andra tillvägagångssätt
För ett mer sofistikerat tillvägagångssätt kan det linjära systemet av divisorer som definierar inbäddningen av V relateras till linjebunten eller den inverterbara bunten som definierar inbäddningen genom dess utrymme av sektioner. Den tautologiska linjebunten på P n drar tillbaka till V . Graden avgör den första Chern-klassen . Graden kan också beräknas i kohomologiringen av Pn , eller Chow-ring , med klassen för ett hyperplan som skär klassen av V ett lämpligt antal gånger.
Förlänger Bézouts sats
Graden kan användas för att generalisera Bézouts sats på ett förväntat sätt till skärningspunkter mellan n hyperytor i P n .