Genererar funktionstransformation

Den här artikeln handlar om transformationer av genererande funktioner i matematik. För genereringsfunktioner (huvudartikel), se genereringsfunktion . För att generera funktioner i klassisk mekanik, se Generera funktion (fysik) . För generering av funktionstransformationer i klassisk mekanik, se kanonisk transformation .

Inom matematik tillhandahåller en transformation av en sekvenss genererande funktion en metod för att omvandla genereringsfunktionen för en sekvens till en genererande funktion som räknar upp en annan. Dessa transformationer involverar vanligtvis integralformler som tillämpas på en sekvensgenererande funktion (se integraltransformationer ) eller viktade summor över de högre ordningens derivator av dessa funktioner (se derivattransformationer ).

Givet en sekvens, ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=0}^{\infty }} ,$ den ordinarie genererande funktionen (OGF) för sekvensen, betecknad $F(z)$ och den exponentiella genererande funktionen (EGF) för sekvensen, betecknad ${\widehat {F}}(z)$ , definieras av den formella potensserien

$F(z)=\summa _{n=0}^{\infty }f_{n }z^{n}=f_{0}+f_{1}z+f_{2}z^{2}+\cdots$

${\widehat {F}}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {f_{0}}{0!}}+{\frac {f_{1}}{1!}}z+{\frac {f_{2}}{2!}}z^{2}+\cdots .$

I den här artikeln använder vi konventionen att den ordinarie (exponentiella) genererande funktionen för en sekvens $\{f_{n}\}$ betecknas med versalfunktionen $F( z)$ / ${\widehat {F}}(z)$ för vissa fasta eller formell $z$ när sammanhanget för denna notation är tydligt. Dessutom använder vi parentesnotationen för koefficientextraktion från Concrete Mathematics- referensen som ges av $[z^{n}]F(z):=f_{n }$ . Huvudartikeln ger exempel på att generera funktioner för många sekvenser . Andra exempel på genererande funktionsvarianter inkluderar Dirichlet-genererande funktioner (DGF), Lambert-serier och Newton-serier . I den här artikeln fokuserar vi på transformationer av genererande funktioner i matematik och håller en löpande lista över användbara transformationer och transformationsformler.

Extrahera aritmetiska progressioner av en sekvens

Huvudartikel: Series multisection

Series multisection tillhandahåller formler för att generera funktioner som räknar $) {\displaystyle F(z)}$ sekvensen $\{f_{an+b}\}$ givet en vanlig genererande funktion där $a,b\in \mathbb {N}$ , $a\geq 2$ , och $0\leq b<a$ . I de två första fallen där $(a,b):=(2,0),(2,1)$ , kan vi utöka dessa aritmetiska progressionsgenererande funktioner direkt i termer av $F(z)$ :

$\sum _{n\geq 0}f_{2n}z^{2n}={\frac { 1}{2}}\vänster(F(z)+F(-z)\höger)$

$\sum _{n\geq 0}f_{2n+1}z^{2n+1}={\frac {1}{2}}\left(F(z)-F(-z)\ höger).$

Antag mer generellt att $a\geq 3$ och att $\omega _{a}\equiv \exp \left({\frac {2 \pi \imath }{a}}\right)$ betecknar den $a^{th}$ primitiva roten av enhet . Sedan har vi följande formel, ofta känd som roten till enhetsfiltret:

$\sum _{n\geq 0}f_{an+b}z^{an+b}={\frac {1}{a}}\times \sum _{m=0}^{a- 1}\omega _{a}^{-mb}F\left(\omega _{a}^{m}z\right).$

För heltal $m\geq 1$ genereras en annan användbar formel som ger något omvända golvade aritmetiska progressioner av identiteten

$\sum _{n\geq 0}f_{\lfloor {\frac {n}{m}}\rfloor }z^{n}={\frac {1-z^{m}}{1- z}}F(z^{m})=\left(1+z+\cdots +z^{m-2}+z^{m-1}\right)F(z^{m}).$

Krafter hos en OGF och komposition med funktioner

De exponentiella Bellpolynomen , $B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=n!\cdot [t^{n}u^ {k}]\Phi (t,u)$ , definieras av den exponentiella genererande funktionen

$\Phi (t,u)=\exp \left(u\times \sum _{m\geq 1}x_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}\right) =1+\summa _{n\geq 1}\left\{\summa _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots )u^ {k}\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.$

Nästa formler för potenser, logaritmer och sammansättningar av formella potensserier utökas av dessa polynom med variabler i koefficienterna för de ursprungliga genererande funktionerna. Formeln för exponentialen för en genererande funktion ges implicit genom Bell-polynomen av EGF för dessa polynom definierade i föregående formel för någon sekvens av $\{x_{i}\}$ .

Ömsesidighet i en OGF (speciellt fall av potensformeln)

Effektserien för den reciproka av en genererande funktion, $F(z)$ , utökas med

${\frac {1}{F(z)}}={\frac {1}{f_{0}}}-{\frac {f_{1}}{f_{0}^{2}} }z+{\frac {\left(f_{1}^{2}-f_{0}f_{2}\right)}{f_{0}^{3}}}z^{2}-{\frac {f_{1}^{3}-2f_{0}f_{1}f_{2}+f_{0}^{2}f_{3}}{f_{0}^{4}}}+\cdots .$

Om vi ​​låter $b_{n}:=[z^{n}]1/F(z)$ beteckna koefficienterna i expansionen av den reciproka genereringen funktion, då har vi följande återkommande relation:

$b_{n}=-{\frac {1}{f_{ 0}}}\left(f_{1}b_{n-1}+f_{2}b_{n-2}+\cdots +f_{n}b_{0}\right),n\geq 1.$

Befogenheter hos en OGF

Låt $m\in \mathbb {C}$ vara fixerad, anta att $f_{0}=1$ , och beteckna $b_{n}^{(m)}:=[z^{n}]F(z)^{m}$ . Sedan har vi en serieexpansion för $F(z)^{m}$ ges av

$F(z)^{m}=1+mf_{1}z+m\left((m-1)f_{ 1}^{2}+2f_{2}\höger){\frac {z^{2}}{2}}+\left(m(m-1)(m-2)f_{1}^{3 }+6m(m-1)f_{2}+6mf_{3}\right){\frac {z^{3}}{6}}+\cdots ,$

och koefficienterna $b_{n}^{(m)}$ uppfyller en återkommande relation av formen

$n\cdot b_{n}^{(m)}=(m-n+1)f_{ 1}b_{n-1}^{(m)}+(2m-n+2)f_{2}b_{n-2}^{(m)}+\cdots +((n-1)m- 1)f_{n-1}b_{1}^{(m)}+nmf_{n},n\geq 1.$

En annan formel för koefficienterna, $b_{n}^{(m)}$ , utökas med Bell-polynomen som

$F(z)^{m}=f_{0}^{m}+\summa _{n\geq 1}\left(\summa _{1\leq k\leq n}(m)_ {k}f_{0}^{mk}B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n }}{n!}},$

där $(r)_{n}$ anger Pochhammer-symbolen .

Logaritmer för en OGF

Om vi ​​låter $f_{0}=1$ och definierar $q_{n}:=[z^{n}]\log F(z)$ , då har vi en effektserieexpansion för den sammansatta genererande funktionen som ges av

$\log F( z)=f_{1}+\left(2f_{2}-f_{1}^{2}\right){\frac {z}{2}}+\left(3f_{3}-3f_{1} f_{2}+f_{1}^{3}\right){\frac {z^{2}}{3}}+\cdots ,$

där koefficienterna, $q_{n}$ , i den föregående expansionen uppfyller återfallsrelationen som ges av

$n\cdot q_{ n}=nf_{n}-(n-1)f_{1}q_{n-1}-(n-2)f_{2}q_{n-2}-\cdots -f_{n-1}q_ {1},$

och en motsvarande formel utökad med Bell-polynomen i form av potensseriekoefficienterna för följande genererande funktion:

$\log F(z)=\summa _{n\geq 1}\left(\summa _{1\leq k\leq n}(-1)^{k-1}(k-1)! B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}}.$

Faà di Brunos formel

Huvudartikel: Faà di Brunos formel

Låt ${\widehat {F}}(z)$ beteckna sekvensens EGF, $\{f_{n}\}_{n\geq 0 }$ , och anta att ${\widehat {G}}(z)$ är EGF för sekvensen, $\{g_{n}\}_ {n\geq 0}$ . Faà di Brunos formel innebär att sekvensen, $\{h_{n}\}_{n\geq 0}$ , genererad av kompositionen ${\displaystyle {\widehat {H}}(z):={\widehat {F}}({\widehat {G}}(z))} , kan uttryckas i termer av$ den exponentiella klockan polynom enligt följande:

$h_{n}=\sum _{1\leq k\leq n}f_{k}\cdot B_{n,k}(g_{1},g_{2},\cdots ,g_{n- k+1})+f_{0}\cdot \delta _{n,0}.$

Integrerade transformationer

OGF ⟷ EGF-konverteringsformler

Vi har följande integralformler för $a,b\in \mathbb {Z} ^{+}$ som kan tillämpas termiskt med avseende på $z$ när $z$ tas som valfri formell potensvariabel:

$\sum _{n\geq 0}f_{n }z^{n}=\int _{0}^{\infty }{\widehat {F}}(tz)e^{-t}dt=z^{-1}{\mathcal {L}}[ {\widehat {F}}](z^{-1})$

$\sum _{n\geq 0}\Gamma (an+b)\cdot f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }t^{b-1}e ^{-t}F(t^{a}z)dt.$

$\sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\ pi }^{\pi }F\left(ze^{-\imath \vartheta }\right)e^{e^{\imath \vartheta }}d\vartheta .$

Lägg märke till att den första och sista av dessa integralformler används för att konvertera mellan EGF till OGF för en sekvens och från OGF till EGF för en sekvens närhelst dessa integraler är konvergenta.

Den första integralformeln motsvarar Laplace-transformationen (eller ibland den formella Laplace–Borel- transformationen) för genererande funktioner, betecknad med ${\mathcal {L}}[F](z)$ , definieras i. Andra integralrepresentationer för gammafunktionen i den andra av de föregående formlerna kan naturligtvis också användas för att konstruera liknande integraltransformationer. En speciell formel resulterar i fallet med exemplet med dubbelfaktoriell funktion som ges omedelbart nedan i detta avsnitt. Den sista integralformeln jämförs med Hankels loopintegral för den reciproka gammafunktionen som tillämpas termiskt på potensserien för $F(z)$ .

Exempel: En dubbelfaktoriell integral för EGF av Stirlingtalen av det andra slaget

Den enda faktoriella funktionen , $(2n)!$ , uttrycks som en produkt av två dubbla faktorfunktioner av formen

$(2n)!=(2n)!!\times (2n-1)!!={\frac {4^{n}\cdot n!}{\sqrt {\pi }}}\times \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right),$

där en integral för dubbelfaktorfunktionen, eller rationell gammafunktion , ges av

${\frac {1}{2}}\cdot (2n-1 )!!={\frac {2^{n}}{\sqrt {4\pi }}}\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1} {\sqrt {2\pi }}}\times \int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}t^{2n}\,dt,$

för naturliga tal $n\geq 0$ . Denna integrerade representation av $(2n-1)!!$ innebär då att för fast icke-noll $q\in \mathbb {C}$ och eventuella integralpotenser $k\geq 0$ , vi har formeln

${\frac {\log(q)^{k}}{k!}}={\frac {1}{(2k)!}}\times \left[\int _{0}^{\ infty }{\frac {2e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left({\sqrt {2\log(q)}}\cdot t\right) ^{2k}\,dt\right].$

För vilket som helst föreskrivet heltal ${\displaystyle j\geq 0} ,$ kan vi använda den föregående integralrepresentationen tillsammans med formeln för att extrahera aritmetiska progressioner från en sekvens OGF som ges ovan, för att formulera nästa integralrepresentation för den så kallade modifierade Stirling nummer EGF as

$\sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\ j\end{matrix}}\right\}{\frac {\log(q)^{n}}{n!}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{- t^{2}/2}}{{\sqrt {2\pi }}\cdot j!}}\left[\sum _{b=\pm 1}\left(e^{b{\sqrt {2 \log(q)}}\cdot t}-1\right)^{j}\right]dt,$

som är konvergent förutsatt att lämpliga villkor för parametern $0<|q|<1$ .

Exempel: En EGF-formel för de högre ordningens derivator av den geometriska serien

För fast icke-noll $c,z\in \mathbb {C}$ definierad så att $|cz|<1$ , låt den geometriska serien över de icke-negativa integralpotenserna för $(cz)^{n}$ betecknas med $G(z):=1/(1-cz)$ . De motsvarande högre ordningens $j^{th}$ derivatorna av den geometriska serien med avseende på $z$ betecknas med sekvensen av funktioner

$G_{j}(z):={\frac {(cz) )^{j}}{1-cz}}\times \left({\frac {d}{dz}}\right)^{(j)}\left[G(z)\right],$

för icke-negativa heltal $j\geq 0$ . Dessa $j^{th}$ derivator av den vanliga geometriska serien kan visas, till exempel genom induktion, för att tillfredsställa en explicit formel i sluten form som ges av

$G_{j}(z)={\frac {(cz)^{j}\cdot j!}{(1-cz)^{j+2}} },$

för alla $j\geq 0$ när som helst $|cz|<1$ . Som ett exempel på den tredje OGF $\longmapsto$ EGF-konverteringsformeln som citeras ovan, kan vi beräkna följande motsvarande exponentiella former av genereringsfunktionerna $G_{j}(z)$ :

${\widehat {G}}_{j}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }G_{j}\left (ze^{-\imath t}\right)e^{e^{\imath t}}dt={\frac {(cz)^{j}e^{cz}}{(j+1)}} \left(j+1+z\right).$

Bråkintegraler och derivator

Bråkintegraler och bråkderivata (se huvudartikeln) bildar en annan generaliserad klass av integrations- och differentieringsoperationer som kan appliceras på OGF för en sekvens för att bilda motsvarande OGF för en transformerad sekvens. För $\Re (\alpha )>0$ definierar vi bråkintegraloperatorn (av ordningen ${\displaystyle \alpha } )$ genom integraltransformationen

$I^{\alpha }F(z)={\frac {1}{ \Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{z}(zt)^{\alpha -1}F(t)dt,$

som motsvarar den (formella) potensserien som ges av

$I^{\alpha }F(z)=\sum _{n\geq 0}{\frac {n!}{\Gamma (n+\alpha +1)}}f_{n}z^{n+ \alpha }.$

För fast $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ definierade så att $\Re (\alpha ),\Re (\ beta )>0$ , vi har att operatorerna $I^{\alpha }I^{\beta }=I^{\alpha +\beta }$ . Dessutom, för fast $\alpha \in \mathbb {C}$ och heltal $n$ som uppfyller $0<\Re (\alpha )<n$ vi kan definiera begreppet bråkderivatan som uppfyller egenskaperna som

$D^{\alpha }F(z)={\frac {d^{(n)} }{dz^{(n)}}}I^{n-\alpha }F(z),$

och

$D^{k}I^{\alpha }=D^{n}I^{\alpha +nk}$ för $k=1,2,\ldots ,n,$

där vi har semigroup-egenskapen att $D^{\alpha }D^{\beta }=D^{\alpha +\beta }$ endast när ingen av $\alpha ,\beta ,\alpha +\beta$ är heltalsvärde.

Polylogaritmserietransformationer

För fasta $s\in \mathbb {Z} ^{+}$ har vi det (jämför med specialfallet för integralformeln för Nielsens generaliserade polylogaritmfunktion definierad i)

$\sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{(n+1)^{s}}}z^{n}={\frac {(-1)^{s -1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)dt.$

Lägg märke till att om vi sätter ${\displaystyle g_{n}\equiv f_{n+1}} ,$ integralen med avseende på genereringsfunktionen, $G(z)$ , i den sista ekvationen när $z\equiv 1$ motsvarar den Dirichlet-genererande funktionen , eller DGF, ${\widetilde {F}}(s)$ , ​​i sekvensen av $\{f_{n}\}$ förutsatt att integralen konvergerar. Denna klass av polylogaritmrelaterade integraltransformationer är relaterad till de derivatbaserade zetaserietransformationer som definieras i nästa avsnitt.

Fyrkantiga serier som genererar funktionstransformationer

För fast icke-noll $q,c,z\in \mathbb {C}$ så att $|q|<1$ och $|cz|<1$ , vi har följande integralrepresentationer för den så kallade kvadratseriegenererande funktionen associerad med sekvensen ${\displaystyle \{f_{n}\}} ,$ som kan integreras termiskt med avseende på $z$ :

$\sum _{n\geq 0}q^{n^{2}}f_{n}\cdot (cz)^{n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }} }\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}\left[F\left(e^{t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)+F\left(e^{-t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)\right]dt.$

Detta resultat, som bevisas i referensen, följer av en variant av transformationsintegralen för dubbelfaktorialfunktioner för Stirlingtalen av det andra slaget som ges som exempel ovan. I synnerhet sedan

$q^{n^{2}}=\exp(n^{2}\cdot \log(q))=1+n^{2}\log(q)+n^{4 }{\frac {\log(q)^{2}}{2!}}+n^{6}{\frac {\log(q)^{3}}{3!}}+\cdots ,$

$\left\{S(2n,j)/n!\right\}$ derivatbaserade OGF-transformationer som definieras i nästa avsnitt som involverar Stirlingtalen av det andra slaget för erhålla en integralformel för sekvensens genererande funktion, , och utför sedan en summa över $j^{th}$ derivatorna av den formella OGF, $F(z)$ för att erhålla resultatet i föregående ekvation där den aritmetiska progressionsgenererande funktionen betecknas med

$\sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\j\end{matrix} }\right\}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}={\frac {1}{2j!}}\left((e^{z}-1)^{j} +(e^{-z}-1)^{j}\höger),$

för varje fast $j\in \mathbb {N}$ .

Hadamard-produkter och diagonalgenererande funktioner

Vi har en integrerad representation för Hadamard-produkten av två genererande funktioner, $F(z)$ och $G(z)$ , angivna i följande form:

$\displaystyle (F\ odot G)(z):=\summa _{n\geq 0}f_{n}g_{n}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^ {2\pi }F\left({\sqrt {z}}e^{It}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-It}\right)dt,}$

där jag är den imaginära enheten .

Mer information om Hadamard-produkter som diagonalgenererande funktioner för multivariata sekvenser och/eller genererande funktioner och klasserna av genererande funktioner som dessa diagonala OGF:er tillhör finns i Stanleys bok. Referensen tillhandahåller också kapslade koefficientextraktionsformler för formuläret

$\operatorname {diag} \left(F_{1}\cdots F_{k}\right) :=\summa _{n\geq 0}f_{1,n}\cdots f_{k,n}z^{n}=[x_{k-1}^{0}\cdots x_{2}^{ 0}x_{1}^{0}]F_{k}\left({\frac {z}{x_{k-1}}}\right)F_{k-1}\left({\frac {x_ {k-1}}{x_{k-2}}}\right)\cdots F_{2}\left({\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)F_{1} (x_{1}),$

som är särskilt användbara i de fall där de komponentsekvensgenererande funktionerna, $F_{i}(z)}$$z$ , kan expanderas i en Laurent-serie , eller bråkserie, i , såsom i det speciella fallet där alla de komponentgenererande funktionerna är rationella, vilket leder till en algebraisk form av motsvarande diagonalgenererande funktion.

Exempel: Hadamard-produkter med rationella genererande funktioner

I allmänhet är Hadamard-produkten av två rationella genererande funktioner i sig själv rationell. Detta ses genom att notera att koefficienterna för en rationell genererande funktion bildar kvasipolynomtermer av formen

$f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\ cdots +p_{\ell }(n)\rho _{\ell }^{n},$

där de reciproka rötterna, ${\displaystyle \rho _{i}\in \mathbb {C} } ,$ är fasta skalärer och där $p_{i}(n)$ är en polynom i $n$ för alla $1\leq i\leq \ell$ . Till exempel Hadamard-produkten av de två genererande funktionerna

$F(z):={\frac {1}{1+a_{1}z+a_{2}z^{2} }}$

och

$G(z):={\frac {1}{1+b_{1}z+b_{2}z^{2} }}$

ges av formeln för rationell genererande funktion

$(F\odot G)(z)={\frac {1-a_{2}b_{2}z^{2}}{1-a_{1}b_{1}z+\left(a_{ 2}b_{1}^{2}+a_{1}^{2}b_{2}-a_{2}b_{2}\right)z^{2}-a_{1}a_{2}b_ {1}b_{2}z^{3}+a_{2}^{2}b_{2}^{2}z^{4}}}.$

Exempel: Faktoriella (ungefärliga Laplace) transformationer

Vanliga genererande funktioner för generaliserade faktoriella funktioner bildade som specialfall av de generaliserade stigande faktoriella produktfunktionerna, eller Pochhammer k-symbol , definierad av

$p_{n}(\alpha ,R): =R(R+\alpha )\cdots (R+(n-1)\alpha )=\alpha ^{n}\cdot \left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n},$

där $R$ är fast, $\alpha \neq 0$ , och $(x)_{n}$ anger att Pochhammer-symbolen genereras (åtminstone formellt) av de Jacobi-typ J-fraktioner (eller speciella former av fortsatta fraktioner ) som fastställs i referensen. Om vi ​​låter ${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\ alpha ,R;z):=\operatörsnamn {FP} _{h}(\alpha ,R;z)/\operatörsnamn {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)} betecknar h$ : $\ displaystyle h^{\text{th}}}$ konvergent till dessa oändliga fortsatta bråk där komponentens konvergenta funktioner är definierade för alla heltal $h\geq 2$ av

${ \displaystyle \operatörsnamn {FP} _{h}(\alpha ,R;z)=\summa _{n=0}^{h-1}\left[\summa _{k=0}^{n}{ \binom {h}{k}}\left(1-h-{\frac {R}{\alpha }}\right)_{k}\left({\frac {R}{\alpha }}\right )_{nk}\right](\alpha z)^{n},}$

och

${\begin{aligned}\operatörsnamn {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)&=(-\alpha z)^{h}\cdot h!\times L_{h }^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)\\&=\summa _{k=0}^{h}{\ binom {h}{k}}\left[\prod _{j=0}^{k-1}(R+(j-1-j)\alpha )\right](-z)^{k},\ end{aligned}}$

där $L_{n}^{(\beta )}(x)$ anger ett associerat Laguerre-polynom , då har vi att $h^{th}$ konvergent funktion, $\operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)$ , räknar upp produktsekvenserna exakt, ${\ displaystyle p_{n}(\alpha ,R)}$ , för alla $0\leq n<2h$ . För varje $h\geq 2$ utökas den ${\displaystyle h^{th}} konvergenta funktionen som en ändlig summa som endast involverar parade reciproka av Laguerre-polynomen i form av$

$\operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)=\summa _ {i=0}^{h-1}{\binom {{\frac {R}{\alpha }}+i-1}{i}}\ gånger {\frac {(-\alpha z)^{- 1}}{(i+1)\cdot L_{i}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)L_{i+ 1}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)}}$

Dessutom, eftersom den enda faktoriella funktionen ges av både $n!=p_{n}(1,1)$ och ${\displaystyle n!=p_{n}(-1,n)} ,$ vi kan generera de enskilda faktoriella funktionstermerna med hjälp av de ungefärliga rationella konvergenta genereringsfunktionerna upp till ordningen $2h$ . Denna observation föreslår ett tillvägagångssätt för att approximera den exakta (formella) Laplace–Borel-transformen som vanligtvis ges i termer av den integrerade representationen från föregående avsnitt av en Hadamard-produkt, eller diagonalkoefficient, genererande funktion. I synnerhet, givet vilken OGF ${\displaystyle G(z)} som helst$ , kan vi bilda den ungefärliga Laplace-transformen, som är $2h$ -ordning noggrann, genom den diagonala koefficientextraktionsformeln som anges ovan ges av

${\begin{aligned}{\widetilde {\mathcal {L}}}_{h}[G](z)&:=[x^{0}]\operatörsnamn {Conv} _{h}\ vänster(1,1;{\frac {z}{x}}\right)G(x)\\&\ ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\ pi }\operatörsnamn {Conv} _{h}\left(1,1;{\sqrt {z}}e^{It}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-It} \right)dt.\end{aligned}}$

Exempel på sekvenser som räknas upp genom dessa diagonalkoefficientgenererande funktioner som härrör från sekvensfaktorialfunktionsmultiplikatorn som tillhandahålls av de rationella konvergenta funktionerna inkluderar

${\begin{aligned}n!^{2}&=[z^{n}][x^{0}]\operatörsnamn {Conv} _{h}\left(- 1,n;{\frac {z}{x}}\right)\operatörsnamn {Conv} _{h}\left(-1,n;x\right),h\geq n\\{\binom {2n }{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatörsnamn {Conv} _{h}\left(-2,2n;{\frac {z}{x_{2}}}\right)\operatörsnamn {Conv} _{h}\left(-2,2n-1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right )I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\{\binom {3n}{n}}{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0 }x_{2}^{0}z^{n}]\operatörsnamn {Conv} _{h}\left(-3,3n-1;{\frac {3z}{x_{2}}}\right) \operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-2;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{ 1}}})\\!n&=n!\ gånger \sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=[z^{n }x^{0}]\left({\frac {e^{-x}}{(1-x)}}\operatörsnamn {Conv} _{n}\left(-1,n;{\frac { z}{x}}\right)\right)\\\operatörsnamn {af} (n)&=\summa _{k=1}^{n}(-1)^{nk}k!=[z^ {n}]\left({\frac {\operatörsnamn {Conv} _{n}(1,1;z)-1}{1+z}}\right)\\(t-1)^{n} P_{n}\left({\frac {t+1}{t-1}}\right)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{ 2}t^{k}\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}][z^{n}]\left(\operatörsnamn {Conv} _{n}\left (1,1;{\frac {z}{x_{1}}}\right)\operatörsnamn {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{1}}{x_{2 }}}\right)I_{0}(2{\sqrt {t\cdot x_{2}}})I_{0}(2{\sqrt {x_{2}}})\right),n\geq 1\\(2n-1)!!&=\summa _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k\cdot (2k- 3)!!\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}x_{3}^{n-1}]\left(\operatörsnamn {Conv} _{n}\left (1,1;{\frac {x_{3}}{x_{2}}}\right)\operatörsnamn {Conv} _{n}\left(2,1;{\frac {x_{2}}{ x_{1}}}\right){\frac {(x_{1}+1)e^{x_{1}}}{(1-x_{2})}}\right),\end{aligned} }$

där $I_{0}(z)$ anger en modifierad Bessel-funktion , $!n$ betecknar underfaktorfunktionen , $\operatorname {af} (n)$ betecknar den alternerande faktoriella funktionen, och $P_{n}(x )$ är ett Legendre-polynom . Andra exempel på sekvenser som räknas upp genom tillämpningar av dessa rationella Hadamard-produktgenererande funktioner som ges i artikeln inkluderar Barnes G-funktionen , kombinatoriska summor som involverar den dubbla faktorialfunktionen , summor av potenssekvenser och sekvenser av binomialer.

Derivattransformationer

Positiva och negativa ordningens zetaserietransformationer

För fast $k\in \mathbb {Z} ^{+}$ har vi att om sekvensen OGF $F(z)$ har $j ^{th}$ derivator av alla erforderliga ordningsföljder för $1\leq j\leq k$ , att zetaserietransformationen av positiv ordning ges av

$\sum _{n\geq 0}n^{k}f_{n}z ^{n}=\summa _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}z^{j}F^{( j)}(z),$

där $\scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}$ anger ett Stirlingtal av det andra slaget . I synnerhet har vi följande specialfallsidentitet när $f_{n}\equiv 1\forall n$ när $\scriptstyle {\left\langle {\begin{ matris}n\\m\end{matris}}\right\rangle }$ anger triangeln av första ordningens Eulerska tal :

$\sum _{n\geq 0}n^{k}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\ end{matris}}\right\}{\frac {z^{j}\cdot j!}{(1-z)^{j+1}}}={\frac {1}{(1-z) ^{k+1}}}\ gånger \summa _{0\leq m<k}\left\langle {\begin{matrix}k\\m\end{matris}}\right\rangle z^{m+ 1}.$

Vi kan också expandera negativa ordningens zetaserietransformationer med en liknande procedur som ovanstående expansioner som ges i termer av $j^{th}$ -ordningens derivator av vissa ${\ displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$ och en oändlig, icke-triangulär uppsättning generaliserade stirlingtal omvänt , eller generaliserade stirlingtal av det andra slaget som definieras i detta sammanhang.

Speciellt för heltal $k,j\geq 0$ , definiera dessa generaliserade klasser av Stirlingtal av det andra slaget med formeln

$\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }:={\frac {1}{j!}}\times \ summa _{m=1}^{j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{jm}}{m^{k}}}.$

Sedan för $k\in \mathbb {Z} ^{+}$ och några föreskrivna OGF, $F(z)\in C^{\infty }$ , dvs så att de högre ordningens $j^{th}$ derivatorna av $F(z)$ existerar för alla $j\geq 0$ , vi ha det

$\sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{n^{k}}}z^{n}=\summa _{j\geq 1}\left\{{\ start{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }z^{j}F^{(j)}(z).$

En tabell över de första zetaseriens transformationskoefficienter, $\scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }}$ , visas nedan. Dessa viktade övertonstalsexpansioner är nästan identiska med de kända formlerna för Stirlingtalen av det första slaget upp till det inledande tecknet på de viktade övertonstalstermen i expansionerna.

k	$\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }\ gånger (-1)^{j-1}j!$
2	$1$
3	$H_{j}$
4	${\frac {1}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right )$
5	${\frac {1}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{ j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\höger)$
6	${\frac { 1}{24}}\left(H_{j}^{4}+6H_{j}^{2}H_{j}^{(2)}+3\left(H_{j}^{(2) }\höger)^{2}+8H_{j}H_{j}^{(3)}+6H_{j}^{(4)}\höger)$

Exempel på transformationer av negativa ordningens zetaserier

Nästa serie relaterade till polylogaritmfunktionerna ( dilogaritm- respektive trilogaritmfunktioner ), den alternerande zetafunktionen och Riemann-zetafunktionen är formulerade från de tidigare resultat av negativa ordningsserier som finns i referenserna. Speciellt när $s:=2$ (eller motsvarande, när $k:=4$ i tabellen ovan), har vi följande specialfallsserier för dilogaritmen och motsvarande konstant värde för den alternerande zetafunktionen:

${\begin{aligned}{\text{Li}}_{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{ 2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1} }}\\\zeta ^{\ast}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{12}}=\summa _{j\geq 1}{\frac {\left(H_{ j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right)}{4\cdot 2^{j}}}.\end{aligned}}$

När $s:=3$ (eller när $k:=5$ i notationen som användes i föregående underavsnitt), får vi på samma sätt specialfallsserier för dessa funktioner som ges av

${\begin{aligned}{\text{Li}}_{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{ 6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\höger){\frac {z^{ j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\zeta ^{\ast}(3)&={\frac {3}{4}}\zeta (3)=\summa _ {j\geq 1}{\frac {\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\höger) }{12\cdot 2^{j}}}\\&={\frac {1}{6}}\log(2)^{3}+\summa _{j\geq 0}{\frac {H_ {j}H_{j}^{(2)}}{2^{j+1}}}.\end{aligned}}$

Det är känt att de första ordningens övertonstalen har en exponentiell genererande funktion i sluten form expanderad i termer av den naturliga logaritmen , den ofullständiga gammafunktionen och den exponentiella integralen som ges av

$\sum _{n\geq 0}{\frac {H_{n}}{n!}}z^{n}=e^{z}\left({\mbox{E}}_{1 }(z)+\gamma +\log z\right)=e^{z}\left(\Gamma (0,z)+\gamma +\log z\right).$

Ytterligare serierepresentationer för r-ordningens harmoniska tal exponentiellt genererande funktioner för heltal $r\geq 2$ bildas som specialfall av dessa negativa ordningsderivatbaserade serietransformationsresultat. Till exempel andra ordningens övertonstal en motsvarande exponentiell genererande funktion utökad med serien

$\sum _{n\geq 0}{\frac {H_{n}^{(2)}}{n!}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}{\frac {H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}}{2\cdot (j+1)!}}z^{j}e^{z}\left(j+1+ z\höger).$

Generaliserade negativa ordningens zetaserietransformationer

En ytterligare generalisering av de negativa ordningens serietransformationer som definieras ovan är relaterad till mer Hurwitz-zeta-liknande eller Lerch-transcendent-liknande genererande funktioner. Specifikt, om vi definierar de ännu mer generella parametriserade Stirlingtalen av det andra slaget med

$\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\ höger\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{0\leq m\leq j}{\binom {j }{m}}{\frac {(-1)^{jm}}{(\alpha m+\beta )^{k}}}$ ,

för icke-noll $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ så att $-{\frac {\beta }{\alpha }}\ notin \mathbb {Z} ^{+}$ , och några fasta $k\geq 1$ , vi har det

$\sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1} \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}z^{j}F^{( j)}(z).$

Dessutom, för alla heltal $u,u_{0}\geq 0$ , har vi de partiella seriens approximationer till den fullständiga oändliga serien i den föregående ekvationen som ges av

$\sum _{n=1}^{u}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=[w^{u} ]\left(\summa _{j=1}^{u+u_{0}}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{( \alpha ,\beta )^{\ast }}{\frac {(wz)^{j}F^{(j)}(wz)}{1-w}}\right).$

Exempel på generaliserade zetaserietransformationer av negativ ordning

Serier för speciella konstanter och zeta-relaterade funktioner som härrör från dessa generaliserade derivatbaserade serietransformationer involverar vanligtvis de generaliserade övertonstalen av r-ordningen som definieras av $H_{n}^{(r)}(\alpha ,\beta ):=\summa _{1\leq k\leq n}(\alpha k+\beta )^{-r }$ för heltal $r\geq 1$ . Ett par speciella serieexpansioner för följande konstanter när $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ är fixerade följer av specialfall av identiteter av BBP-typ som

${\begin{aligned}{\frac {4{\sqrt {3}}\pi }{9}}&=\summa _{j\geq 0}{\frac {8}{9^{j +1}}}\left(2{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}^{-1}+{\frac {1}{2 }}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}}^{-1}\right)\\\log \left({\frac {n^ {2}-n+1}{n^{2}}}\right)&=\summa _{j\geq 0}{\frac {1}{(n^{2}+1)^{j+ 1}}}\left({\frac {2}{3\cdot (j+1)}}-n^{2}{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac { 1}{3}}}^{-1}+{\frac {n}{2}}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}} ^{-1}\right).\end{aligned}}$

Flera andra serier för de zeta-funktionsrelaterade fallen av Legendre chi-funktionen , polygamma -funktionen och Riemann zeta-funktionen inkluderar

${\begin{aligned}\chi _{1}(z)&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1 }{2}}}^{-1}{\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1-z^{2})^{j+1}}}\ \\chi _{2}(z)&=\summa _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}^{ -1}\left(1+H_{j}^{(1)}(2,1)\right){\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1- z^{2})^{j+1}}}\\\summa _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{2}}} &=\summa _{j\geq 0}{\binom {j+z}{z}}^{-1}\left({\frac {1}{z^{2}}}+{\frac { 1}{z}}H_{j}^{(1)}(2,z)\höger){\frac {1}{2^{j+1}}}\\{\frac {13}{18 }}\zeta (3)&=\summa _{i=1,2}\summa _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {i}{3}}}{\frac {i} {3}}}^{-1}\left({\frac {1}{i^{3}}}+{\frac {1}{i^{2}}}H_{j}^{(1 )}(3,i)+{\frac {1}{2i}}\left(H_{j}^{(1)}(3,i)^{2}+H_{j}^{(2) }(3,i)\right)\right){\frac {(-1)^{i+1}}{2^{j+1}}}.\end{aligned}}$

Dessutom kan vi ge en annan ny explicit serierepresentation av den inversa tangentfunktionen genom dess relation till Fibonacci-talen utökad som i referenserna med

$\tan ^{-1}(x)={\frac {\sqrt {5} }{2\imath }}\times \sum _{b=\pm 1}\sum _{j\geq 0}{\frac {b}{\sqrt {5}}}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{j}}^{-1}\left[{\frac {\left(b\imath \varphi t/{\sqrt {5}}\right)^{j}}{ \left(1-{\frac {b\imath \varphi t}{\sqrt {5}}}\right)^{j+1}}}-{\frac {\left(b\imath \Phi t/ {\sqrt {5}}\right)^{j}}{\left(1+{\frac {b\imath \Phi t}{\sqrt {5}}}\right)^{j+1}} }\höger],$

för $t\equiv 2x/\left(1+{\sqrt {1+{\frac {4}{5}}x^{2} }}\right)$ och där det gyllene snittet (och dess reciproka) respektive definieras av $\varphi ,\Phi :={\frac {1}{2 }}\left(1\pm {\sqrt {5}}\right)$ .

Inversionsrelationer och genererande funktionsidentiteter

Inversionsförhållanden

En inversionsrelation är ett par ekvationer av formen

$=0}^{n} A_{n,k}\cdot f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\summa _{k=0}^{n}B_{n,k}\cdot g_{k},}$

vilket är ekvivalent med ortogonalitetsrelationen

$\sum _{k=j}^{n}A_{n,k}\cdot B_{k,j}=\delta _{n,j}.$

Med tanke på två sekvenser, $\{f_{n}\}$ och $\{g_{n}\}$ , relaterade med en omvänd relation av den föregående formen, kan vi ibland försök att relatera OGF:erna och EGF:erna för sekvensparet genom funktionella ekvationer som impliceras av inversionsrelationen. Detta mål speglar i vissa avseenden den mer talteoretiska ( Lambert-serien ) genererande funktionsrelationen som garanteras av Möbius-inversionsformeln , som föreskriver att närhelst

$a_{n}=\sum _{d|n}b_{d}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{d|n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)a_{d},$

genereringsfunktionerna för sekvenserna, $\{a_{n}\}$ och $\{b_{n}\}$ , är relaterade av Möbius-transformen som ges av

$\sum _{n\geq 1}a_{n}z^{n}=\sum _{n\geq 1}{\frac {b_{n}z^{n}}{1-z^ {n}}}.$

På liknande sätt, Euler-transformen av genererande funktioner för två sekvenser, $\{a_{n}\}$ och $\{b_{n}\}$ , som uppfyller relationen

$1+\sum _{n\geq 1}b_{n}z^{n}=\ prod _{i\geq 1}{\frac {1}{(1-z^{i})^{a_{i}}}},$

ges i form av

$1+B(z)=\exp \left(\sum _{k\geq 1}{\frac { A(z^{k})}{k}}\höger),$

där motsvarande inversionsformler mellan de två sekvenserna ges i referensen.

Resten av resultaten och exemplen som ges i detta avsnitt skisserar några av de mer välkända genererande funktionstransformationerna som tillhandahålls av sekvenser relaterade till inversionsformler (binomialtransformen och Stirlingtransformen ) , och tillhandahåller flera tabeller över kända inversionsrelationer av olika typer citeras i Riordans bok Combinatorial Identities . I många fall utelämnar vi motsvarande funktionella ekvationer som antyds av inversionsförhållandena mellan två sekvenser ( denna del av artikeln behöver mer arbete) .

Den binomala transformationen

Den första inversionsrelationen som tillhandahålls nedan implicit till den binomala transformen är kanske den enklaste av alla inversionsrelationer vi kommer att överväga i detta avsnitt. För två valfria sekvenser, $\{f_{n}\}$ och $\{g_{n}\}$ , relaterade av inversionsformlerna

$g_{n}=\sum _{ k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\summa _{k=0}^ {n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}g_{k},$

vi har funktionella ekvationer mellan OGF:erna och EGF:erna för dessa sekvenser tillhandahållna av den binomala transformationen i form av

$G(z)={\frac {1}{1-z}}F\left({\frac {-z}{1 -z}}\right)$

och

${\widehat {G}}(z)=e^{z}{\widehat {F}}(-z).$

Stirlingförvandlingen

För alla sekvenspar, $\{f_{n}\}$ och { $\displaystyle \{g_{n}\}}$ , relaterade till Stirlingtalsinversionsformeln

$g_{n}=\summa _{k =1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\summa _{ k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-1)^{nk}g_{k},$

dessa inversionsrelationer mellan de två sekvenserna översätts till funktionella ekvationer mellan sekvens-EGF:erna som ges av Stirling-transformen som

${\widehat {G}}(z)={\widehat {F}}\left(e^{z}-1\right)$

och

${\widehat {F}}(z)={\widehat {G}}\left(\log(1+z)\right).$

Tabeller över inversionspar från Riordans bok

Dessa tabeller förekommer i kapitel 2 och 3 i Riordans bok som ger en introduktion till inversa relationer med många exempel, men som inte betonar funktionella ekvationer mellan genererande funktioner för sekvenser som är relaterade till dessa inversionsrelationer. Den intresserade läsaren uppmanas att hämta ett exemplar av originalboken för mer information.

Flera former av de enklaste omvända relationerna

Relation	Formel	Omvänd formel	Genererande funktioner (OGF)	Generera funktioner (EGF)	Anteckningar / referenser
1	$a_{n}=\summa _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}b_{k}$	$b_{n}=\summa _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}} (-1)^{nk}a_{k}$	$B(z)={\frac {1}{1-z}}A\left(-{\frac {z}{1 -z}}\right)$	${\widehat {B}}(z)=e^{z}{\widehat {A}}(-z)$	Se den binomala transformationen
2	$a_{n}=\summa _{k=0}^{n}{\binom {pk}{pn}}b_{k }$	$b_{n}=\summa _{k=0}^{n}{\binom {pk} {pn}}(-1)^{nk}a_{k}$	$\ast$	$\ast$
3	$a_{n}=\summa _{k=0}^{n}{\binom {n+p}{k+p} }b_{k}$	$b_{n}=\summa _{k=0}^{n}{\binom {n+ p}{k+p}}(-1)^{nk}a_{k}$	$B(z)={\frac {1}{(1+z)^{p+1}}}A \left({\frac {z}{1+z}}\right)$	$\ast$
4	$a_{n}=\summa _{k=0}^{n}{\binom {k+p}{n+p} }b_{k}$	$b_{n}=\summa _{k=0}^{n}{\binom {k+ p}{n+p}}(-1)^{nk}a_{k}$	$\ast$	$\ast$
5	$a_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n!}{k!}}{\binom {n-1} {k-1}}b_{k}$	$b_{n}=\summa _{k=1}^{n}{\frac {n!}{k!}}{ \binom {n-1}{k-1}}(-1)^{nk}a_{k}$	$\ast$	${\widehat {B}}(z)={\widehat {A}}\left({\frac {z}{1+z}} \höger)$
6	$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}k!b_{nk}$	$b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}(-1)^{k}k!a_{ nk}$	$\ast$	${\widehat {B}}(z)={\frac {1}{1+z}}{\widehat {A} }\left({\frac {z}{1+z}}\right)$
7	${\frac {n!a_{n}}{(n+p)!}}=\summa _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac { k!b_{k}}{(k+p)!}}$	${\frac {n!b_{n}}{(n+p)!}}=\summa _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac { (-1)^{nk}k!a_{k}}{(k+p)!}}$	$B(z)={\frac {1}{(1+z)^{p+1}}}A \left({\frac {z}{1+z}}\right)$	$\ast$
8	$s_{n}=\summa _{k\geq 0}{\binom {n+k}{m+2k}}a_{ k}$	$\ast$	$S(z)={\frac {z^{m}}{(1-z)^ {m+1}}}A\vänster({\frac {z}{(1-z)^{2}}}\höger)$	$\ast$	Ser.
9	$a_{n}=\summa _{k=0}^{n}{\binom {n}{k }}a^{k}(-c)^{nk}b_{k}$	$\ast$	$A(z)={\frac {1}{1+cx}}B\left({\frac {ax}{ 1+cx}}\right)$	$\ast$	Generalisering av binomialtransformen för $a,b,c\in \mathbb {C}$ så att $\left|{\frac {ax}{1+cx}}\right|<\sigma _{B}$ .
10	$w_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}k^ {n}a_{i},\ k\neq 0$	$\ast$	$\ast$	${\widehat {W}}(A,k;z)=e^{kz}{\widehat {A}}( kz)$	k $\displaystyle k}$ -binomialtransformen (se )
11	$f_{n}=\summa _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}} k^{ni}a_{i},\ k\neq 0$	$\ast$	$\ast$	${\widehat {F}}(A,k;z)=e^{kz}{\widehat {A}}(z )$	Den fallande $k$ -binomialtransformen (se Spiveys artikel i )
12	$r_{n}=\summa _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}k^ {i}a_{i},\ k\neq 0$	$\ast$	$\ast$	${\widehat {R}}(A,k;z)=e^{z}{\widehat {A}}(kz )$	Den stigande $k$ -binomialtransformen (se Spiveys artikel i )

Gould-klasser av omvända relationer

Termerna, $A_{n,k}$ och $B_{n,k}$ , i formulärets inversionsformler

$a_{n}=\summa _{k}A_{n ,k}\cdot b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{nk}a_{k},$

som bildar flera specialfall av Gould-klasser av omvända relationer ges i nästa tabell.

Klass	$A_{n,k}$	$B_{n,k}$
1	${\binom {p+qk-k}{nk}}$	${\binom {p+qn-k}{nk}}-q{\binom {p+qn-k-1}{nk-1}}$
2	${\binom {p+qk-k}{nk}}+q{\binom {p +qk-k}{n-1-k}}$	${\binom {p+qn-k}{nk}}$
3	${\binom {p+qn-n}{kn}}$	${\binom {p+qk-n}{kn}}-q{\binom {p+qk-n-1}{kn-1}}$
4	${\binom {p+qn-n}{kn}}+q{\binom {p +qn-n}{k-1-n}}$	${\binom {p+qk-n}{kn}}$

För klass 1 och 2 uppfyller intervallet på summan ${\displaystyle k\in [0,n]} ,$ och för klass 3 och 4 ges gränserna för summeringen av $k=n,n+1,\ldots$ . Dessa termer är också något förenklade från deras ursprungliga former i tabellen genom identiteterna

${\binom {p+qn-k}{nk}}-q\ gånger {\binom {p+qn-k-1}{nk-1}}={\frac {p+qk -k}{p+qn-k}}{\binom {p+qn-k}{nk}}$

${\binom {p+qk-k}{nk}}+q\ gånger {\binom {p+qk-k}{n-1-k}}={\frac {p+qn-n+ 1}{p+qk-n+1}}{\binom {p+qk-k}{nk}}.$

De enklare Chebyshev omvända relationerna

De så kallade enklare fallen av Chebyshev-klasserna av omvända relationer i underavsnittet nedan ges i nästa tabell.

Relation	Formel för $a_{n}$	Invers formel för $b_{n}$
1	$a_{n}=\summa _{k}{\binom {n}{k}}b_{n-2k}$	$b_{n}=\summa _{k}\left [{\binom {nk}{k}}+{\binom {nk-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-2k}$
2	$a_{n}=\summa _{k}\left[{\binom {n}{k}} -{\binom {n}{k-1}}\right]b_{n-2k}$	$b_{n}=\summa _{k}{\binom {nk}{k}}(-1)^ {k}a_{n-2k}$
3	$a_{n}=\summa _{k}{\binom {n+2k}{k}}b_{n+2k}$	$b_{n}=\summa _{k}\left [{\binom {n+k}{k}}+{\binom {n+k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n+2k}$
4	$a_{n}=\summa _{k}\left[{\binom { n+2k}{k}}-{\binom {n+2k}{k-1}}\right]b_{n+2k}$	$b_{n}=\summa _{k}{\binom {n+2k}{k}}(- 1)^{k}a_{n+2k}$
5	$a_{n}=\summa _{k}{\binom {nk}{k}}b_{nk}$	$b_{n}=\summa _{k}\ vänster[{\binom {n+k-1}{k}}-{\binom {n+k-1}{k-1}}\höger](-1)^{k}a_{nk}$
6	$a_{n}=\summa _{k}\left[{\binom {n +1-k}{k}}+{\binom {nk}{k-1}}\right]b_{nk}$	$b_{n}=\summa _{k}{\binom {n+k}{k}}(-1) ^{k}a_{nk}$
7	$a_{n}=\summa _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}b_{n+ ck}$	$b_{n}=\summa _{k}{\binom {n +ck+k}{k}}{\frac {n(-1)^{k}}{n+ck+k}}a_{n+ck}$

Formlerna i tabellen förenklas något av följande identiteter:

${\begin{aligned}{\binom {nk}{k}}+{\binom {nk-1}{k-1}}&={\frac {n}{nk}}{\binom { nk}{k}}\\{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}&={\frac {n+1-k}{n+1-2k} }{\binom {n}{k}}\\{\binom {n+2k}{k}}-{\binom {n+2k}{k-1}}&={\frac {n+1} {n+1+k}}{\binom {n+2k}{k}}\\{\binom {n+k-1}{k}}-{\binom {n+k-1}{k- 1}}&={\frac {nk}{n+k}}{\binom {n+k}{k}}.\end{aligned}}$

Dessutom gäller de inversionsrelationer som ges i tabellen när $n\longmapsto n+p$ i en given relation.

Chebyshev klasser av omvända relationer

Termerna, $A_{n,k}$ och $B_{n,k}$ , i formulärets inversionsformler

$a_{n}=\summa _{k }A_{n,k}\cdot b_{n+ck}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\summa _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{k}a_{ n+ck},$

för heltal som inte är noll ges $c$ som bildar flera specialfall av Chebyshev-klasser av omvända relationer i nästa tabell.

Klass	$A_{n,k}$	$B_{n,k}$
1	${\binom {n}{k}}$	${\binom {n+ck+k}{k}}-(c+1 ){\binom {n+ck+k-1}{k-1}}$
2	${\binom {n}{k}}+(c+1){\binom {n}{k-1}}$	${\binom {n+ck+k}{k}}$
3	${\binom {n+ck}{k}}$	${\binom {n-1+k}{k}}+c{\binom {n-1+k}{ k-1}}$
4	${\binom {n+ck}{k}}-(c-1){\binom {n+ck }{k-1}}$	${\binom {n+k}{k}}$

Dessutom gäller dessa inversionsrelationer även när $n\longmapsto n+p$ för vissa $p=0,1,2,\ldots ,$ eller när teckenfaktorn för $(-1)^{k}$ skiftas från termerna $B_{n,k}$ till termerna ${\ displaystil A_{n,k}}$ . Formlerna i föregående tabell förenklas något av identiteterna

${\begin{aligned}{\binom {n+ck+k}{k}}-(c+1){\binom {n+ck+k-1}{k-1}}&={ \frac {n}{n+ck+k}}{\binom {n+ck+k}{k}}\\{\binom {n}{k}}+(c+1){\binom {n }{k-1}}&={\frac {n+1+ck}{n+1-k}}{\binom {n}{k}}\\{\binom {n-1+k}{ k}}+c{\binom {n-1+k}{k-1}}&={\frac {n+ck}{n}}{\binom {n-1+k}{k}}\ \{\binom {n+ck}{k}}-(c-1){\binom {n+ck}{k-1}}&={\frac {n+1}{n+1+ck- k}}{\binom {n+ck}{k}}.\end{aligned}}$

Den enklare Legendre omvända relationer

Relation	Formel för $a_{n}$	Invers formel för $b_{n}$
1	$a_{n}=\summa _{k}{\binom {n+p+k}{nk}}b_{k}$	$b_{n}=\summa _{k }\left[{\binom {2n+p}{nk}}-{\binom {2n+p}{nk-1}}\right](-1)^{nk}a_{k}$
2	$a_{n}=\summa _{k}{\binom {2n+p}{nk}}b_{k}$	$b_{n}=\ summa _{k}\left[{\binom {n+p+k}{nk}}-{\binom {n+p+k-1}{nk-1}}\right](-1)^{ nk}a_{k}$
3	$a_{n}=\summa _{k\geq n}{\binom {n+p+k}{kn}} b_{k}$	$b_{n}=\summa _ {k\geq n}\vänster[{\binom {2k+p}{kn}}-{\binom {2k+p}{kn-1}}\höger](-1)^{nk}a_{k }$
4	$a_{n}=\summa _{k\geq n}{\binom {2k+p}{kn}}b_{k }$	$b_{n} =\summa _{k\geq n}\left[{\binom {n+p+k}{kn}}-{\binom {n+p+k-1}{kn-1}}\höger]( -1)^{nk}a_{k}$
5	$a_{n}=\summa _{k}{\binom {2n+p}{k}}b_{n-2k}$	$b_{n} =\summa _{k}\vänster[{\binom {2n+p-3k}{k}}+3{\binom {2n+p-3k-1}{k-1}}\höger](-1 )^{k}a_{n-2k}$
6	$a_{n}=\summa _{k}\left[{\binom {2n+p}{k}}-3{\binom {2n+p}{k-1}}\right]b_{n-2k}$	$b_{n}=\summa _{k}{\binom {2n+p-3k}{ k}}(-1)^{k}a_{n-2k}$
7	$a_{n}=\summa _{k=0}^{[n/2]}{\binom {3n }{k}}b_{n-2k}$	$displaystyle b_{ n}=\summa _{k=0}^{[n/2]}\vänster[{\binom {3n-5k}{k}}+5{\binom {3n-5k-1}{k-1 }}\right](-1)^{k}a_{n-2k}}$
8	$a_{n}=\summa _{k=0}^{[n/3]}{\binom {2n }{k}}b_{n-3k}$	$b_{ n}=\summa _{k=0}^{[n/3]}\vänster[{\binom {2n-5k}{k}}+5{\binom {2n-5k-1}{k-1 }}\right](-1)^{k}a_{n-3k}}$

Legendre–Chebyshev klasser av omvända relationer

Legendre –Chebyshev av omvända relationer motsvarar formens inversionsrelationer

$a_{n}=\summa _{k}A_{n ,k}\cdot b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{nk}a_{k},$

där termerna, $A_{n,k}$ och $B_{n,k}$ , implicit beror på någon fast icke-noll $c\ i \mathbb {Z}$ . I allmänhet, givet en klass av Chebyshev omvända par av formen

$a_{n}=\summa _{k }A_{n,k}\cdot b_{n-ck}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\summa _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{k}a_{ n-ck},$

om $c$ ett primtal, ersättandet av $n\longmapsto cn+p$ , $a_{cn+p}\longmapsto A_ {n}$ , och $b_{cn+p}\longmapsto B_{n}$ (eventuellt ersätter $k\longmapsto nk$ ) leder till en Legendre–Chebyshev par i formen

$A_{n}=\summa _{k}A_{cn+p,k}B_{nk}\quad \longleftrightarrow \quad B_{n}=\summa _{k}B_{cn+p,k }(-1)^{k}A_{nk}.$

På liknande sätt, om det positiva heltal $c:=de$ är sammansatt, kan vi härleda inversionspar av formen

$A_{n}=\summa _{k}A_{dn+p,k}B_{n-ek}\quad \longleftrightarrow \quad B_{n}=\summa _{k}B_{dn+p ,k}(-1)^{k}A_{n-ek}.$

Nästa tabell sammanfattar flera generaliserade klasser av Legendre–Chebyshev inversa relationer för något heltal som inte är noll $c$ .

Klass	$A_{n,k}$	$B_{n,k}$
1	${\binom {cn+p}{nk}}$	${\binom {n+p-1+ck-k }{nk}}+c{\binom {n+p-1+ck-k}{nk-1}}$
2	${\binom {cn+p}{kn}}$	${\binom {ck+k+pn-1}{ kn}}-c{\binom {ck+k+pn-1}{kn-1}}$
3	${\binom {ck+p}{np}}$	${\binom {cn+n+pk-1}{ nk}}-c{\binom {cn+n+pk-1}{nk-1}}$
4	${\binom {ck+p}{kn}}$	${\binom {cn-n+p+k-1 }{kn}}+c{\binom {cn-n+p+k-1}{kn-1}}$
5	${\binom {cn+p}{nk}}-(c-1){\binom {cn+p}{nk-1}}$	${\binom {n+p+ck-k}{nk}}$
6	${\binom {cn+p}{kn}}+(c+1){\binom {cn+p}{kn-1}}$	${\binom {ck+k+pn}{kn}}$
7	${\binom {ck+p}{nk}}+(c+1){\binom {ck+p}{nk-1}}$	${\binom {cn+n+pk}{nk}}$
8	${\binom {ck+p}{kn}}-(c-1){\binom {ck+p}{kn-1}}$	${\binom {cn-n+p+k}{kn}}$

Abel omvända relationer

Abels omvända relationer motsvarar Abels omvända par av formen

$a_{n}=\ summa _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}A_{nk}b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\summa _{k=0}^{ n}{\binom {n}{k}}B_{nk}(-1)^{nk}a_{k},$

där termerna, $A_{nk}$ och $B_{nk}$ , implicit kan variera med någon obestämd summeringsparameter $x$ . Dessa relationer gäller även om binomialkoefficienten ersätter ${\binom {n}{k}}\longmapsto {\binom {n+p}{k+ p}}$ utförs för något icke-negativt heltal $p$ . Nästa tabell sammanfattar flera anmärkningsvärda former av dessa Abels omvända relationer.

siffra	$A_{nk}$	$B_{nk}$	Generera funktionsidentitet
1	$x(x+nk)^{nk-1}$	$x(x-n+k)^{nk-1}$	$\ast$
2	$(x+nk)^{nk}$	$(x^{2}-n+k)(x-n+k)^{nk-2}$	$\ast$
3	$(x+k)^{nk}$	$(x+k)(x+n)^{nk-1}$	$\ast$
3a	$(x+n)(x+k)^{nk-1}$	$(x+n)^{nk}$	$\ast$
4	$(x+2n)(x+n+k)^{nk-1}$	$(x+2n)(x+n+k)^{nk-1}$	$\ast$
4a	$(x+2k)(x+n+k)^{nk-1}$	$(x+2k)(x+n+k)^{nk-1}$	$\ast$
5	$(n+k)^{nk}$	$\left[n+k(4n-1)\right](n+k)^{nk-2}$	$\ast$

Inversa relationer härledda från vanliga genererande funktioner

Om vi ​​låter de konvolverade Fibonacci-talen , $f_{k}^{(\pm p)}$ , definieras av

${\begin{aligned}f_{n}^{(p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p+nj-1}{nj} }{\binom {nj}{j}}\\f_{n}^{(-p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p}{n+j}}{\binom {nj}{j}}(-1)^{nj},\end{aligned}}$

vi har nästa tabell med omvända relationer som erhålls från egenskaper hos vanliga sekvensgenererande funktioner som bevisats som i avsnitt 3.3 i Riordans bok.

Relation	Formel för $a_{n}$	Invers formel för $b_{n}$
1	$a_{n}=\summa _{k=0}^{n}{\binom {p+k}{k}}b_ {nk}$	$b_{n}=\summa _{k=0}^{n}{\binom {p+1} {k}}(-1)^{k}a_{nk}$
2	$a_{n}=\summa _{k\geq 0}{\binom {p+k}{k}}b_{n- qk}$	$b_{n}=\summa _{k}{\binom {p+1}{k}}(-1 )^{k}a_{n-qk}$
3	$a_{n}=\summa _{k=0}^{n}f_{k}^{(p)}b_{nk}$	$b_{n}=\summa _{k=0}^{n}f_{k}^{(-p)}a_{ nk}$
4	$a_{n}=\summa _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}b_{nk}$	$\sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\frac {a_{ nk}}{(1-2k)}}$
5	$a_{n}=\summa _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k} }{\frac {b_{nk}}{(k+1)}}$	$b_{n}=a_{n}-\summa _{k=1}^{n}{\binom { 2k}{k}}{\frac {a_{nk}}{k}}$
6	$a_{n}=\summa _{k=0} ^{n}{\binom {2p+2k}{p+k}}{\binom {p+k}{k}}{\binom {2p}{p}}^{-1}b_{nk}$	$b_{n}=\summa _ {k=0}^{n}{\binom {2p+1}{2k}}{\binom {p+k}{k}}{\binom {p+k}{2k}}^{-1} (-1)^{k}a_{nk}$
7	$a_{n}=\summa _{k}{\binom {4k}{2k}}b_{n-2k}$	$b_{n}=\summa _{k}{\binom {4k}{2k}}{\frac {(8k+1)a_{n-2k}}{(2k+1)(k+1)}}$
8	$a_{n}=\summa _{k}{\binom {4k+2}{2k+1}}b_{ n-2k}$	$b_{n}={\ frac {a_{n}}{2}}-\sum _{k\geq 1}{\binom {4k-2}{2k-1}}{\frac {(8k-3)a_{n-2k} }{2k(4k-3)}}$
9	$a_{n}={\binom {4k}{2k}}{\frac {b_{n-2k}}{ (1-4k)}}$	$b_{n}=\summa _{k}{\binom {4k}{2k}}{\frac { a_{n-2k}}{(2k+1)}}$

Observera att relationerna 3, 4, 5 och 6 i tabellen kan transformeras enligt substitutionerna $a_{nk}\longmapsto a_{n-qk}$ och $b_{nk}\longmapsto b_{n-qk}$ för något fast heltal som inte är noll $q\geq 1$ .

Inversa relationer härledda från exponentiella genererande funktioner

Låt $B_{n}$ och $E_{n}$ beteckna Bernoulli-talen respektive Euler-talen och anta att sekvenserna, $\{d_{ 2n}\}$ , $\{e_{2n}\}$ och $\{f_{2n}\}$ definieras av följande exponentiellt genererande funktioner :

${\begin{aligned}\sum _{n\geq 0}{\frac {d_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {2z}{e^ {z}-e^{-z}}}\\\sum _{n\geq 0}{\frac {e_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac { z^{2}}{e^{z}+e^{-z}-2}}\\\summa _{n\geq 0}{\frac {f_{2n}z^{2n}}{( 2n)!}}&={\frac {z^{3}}{3(e^{z}-e^{-z}-2z)}}.\end{aligned}}$

Nästa tabell sammanfattar flera anmärkningsvärda fall av inversionsrelationer erhållna från exponentiella genererande funktioner i avsnitt 3.4 i Riordans bok.

Relation	Formel för $a_{n}$	Invers formel för $b_{n}$
1	$a_{n}=\summa _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\ frac {b_{k}}{(k+1)}}$	$b_{n}=\summa _{k=0}^{n}B_{k}a_{nk}$
2	$a_{n}=\summa _{k}{\binom {n+k}{k}}{\frac { b_{n+k}}{(k+1)}}$	$b_{n}=\summa _{k}{\binom {n+k}{k}}B_{k}a_{n +k}$
3	$a_{n}=\summa _{k}{\binom {n}{2k}}b_{n-2k}$	$b_{n}=\summa _{k}{\binom {n}{2k}}E_{2k}a_{n- 2k}$
4	$a_{n}=\summa _{k}{\binom {n+2k}{2k}}b_{n+2k}$	$b_{n}=\summa _{k}{\binom {n+2k}{2k}}E_{2k }a_{n+2k}$
5	$a_{n}=\summa _{k}{\binom {n}{2k}}{\frac {b_ {n-2k}}{(2k+1)}}$	$b_{n}=\summa _{k}{\binom {n}{2k}}d_{2k}a_{n- 2k}$
6	$a_{n}=\summa _{k}{\binom {n+1}{2k+1}}b_{n -2k}$	$(n+1)\cdot b_{n}=\summa _{k}{\binom {n+1}{2k}}d_{2k}a_{n-2k}$
7	$a_{n}=\summa _{k}{\binom {n}{2k}}{\ binom {2k+2}{2}}^{-1}b_{n-2k}$	$b_{n}=\summa _{k}{\binom {n}{2k}}e_{2k}a_{n- 2k}$
8	$a_{n}=\summa _{k}{\binom {n+2}{2k+2}}b_{n -2k}$	${\binom {n+2}{2}}\cdot b_{n}=\ summa _{k}{\binom {n+2}{2k}}e_{2k}a_{n-2k}$
9	$a_{n}=\summa _{k}{\binom {n}{2k}}{\ binom {2k+3}{3}}^{-1}b_{n-2k}$	$b_{n}=\summa _{k}{\binom {n}{2k}}f_{2k}a_{n- 2k}$
10	$a_{n}=\summa _{k}{\binom {n+3}{2k+3}}b_{n -2k}$	${\binom {n+3}{3}}\cdot b_{n}=\ summa _{k}{\binom {n+3}{2k}}f_{2k}a_{n-2k}$

Multinomiala inverser

De inversa relationerna som används för att formulera den binomala transformationen som citeras i föregående underavsnitt är generaliserade till motsvarande tvåindex-inversa relationer för sekvenser av två index, och till multinomial inversionsformler för sekvenser av $j\geq 3$ -index som involverar binomialkoefficienterna i Riordan. I synnerhet har vi formen av en tvåindex invers relation som ges av

$a_{mn}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}{\binom {m} {j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}b_{jk}\quad \longleftrightarrow \quad b_{mn}=\sum _{j=0}^{m }\summa _{k=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}a_{jk},$

och den mer allmänna formen av ett multinomiellt par av inversionsformler som ges av

$a_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{j}}{\binom {n_{1}}{k_{ 1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j}}b_{k_{1}k_{2 }\cdots k_{j}}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\summa _{k_{1},\ldots ,k_{j}}{ \binom {n_{1}}{k_{1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j }}a_{k_{1}k_{2}\cdots k_{j}}.$

Anteckningar

•   Comtet, L. (1974). Avancerad kombinatorik (PDF) . D. Reidel Publishing Company. ISBN 9027703809 .
•   Flajolet och Sedgewick (2010). Analytisk kombinatorik . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89806-5 .
•   Graham, Knuth och Patashnik (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2:a upplagan). Addison-Wesley. ISBN 0201558025 .
•   Knuth, DE (1997). Konsten att programmera: grundläggande algoritmer . Vol. 1. Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4 .
•   Lando, SK (2002). Föreläsningar om att skapa funktioner . American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3481-9 .
•   Oliver, Lozier, Boisvert och Clark (2010). NIST Handbook of Mathematical Functions . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-14063-8 . {{ citera bok }} : CS1 underhåll: flera namn: lista över författare ( länk )
• Riordan, J. (1968). Kombinatoriska identiteter . Wiley och söner.
•   Roman, S. (1984). Umbralräkningen . Dover Publikationer. ISBN 0-486-44139-3 .
• Schmidt, MD (3 nov 2016). "Zeta-serien genererar funktionstransformationer relaterade till generaliserade Stirlingtal och partiella summor av Hurwitz Zeta-funktionen". arXiv : 1611.00957 [ math.CO ].
• Schmidt, MD (30 oktober 2016). "Zeta-serien genererar funktionstransformationer relaterade till polylogaritmfunktioner och k -ordningens harmoniska tal". arXiv : 1610.09666 [ math.CO ].
• Schmidt, MD (2017). "Jacobi-Type fortsatta bråk för de vanliga genererande funktionerna av generaliserade faktorfunktioner" . Journal of Integer Sequences . 20 . arXiv : 1610.09691 .
• Schmidt, MD (9 sep 2016). "Kvadratisk serie genererar funktionstransformationer". arXiv : 1609.02803 [ math.NT ].
•   Stanley, RP (1999). Enumerativ kombinatorik . Vol. 2. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78987-5 .

externa länkar

• Varför lär de inte ut Newtons kalkyl "Vad kommer härnäst?" - Matolog