Stirlingförvandling

I kombinatorisk matematik är stirlingtransformen av en sekvens { a _n : n = 1, 2, 3, ... } av tal sekvensen { b _n : n = 1, 2, 3, ... } ges av

$b_{n}=\summa _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\ end{matris}}\right\}a_{k},$

där $\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}$ är stirlingtalet för den andra typen, även betecknad S ( n , k ) (med stort S ), vilket är antalet partitioner av en uppsättning av storlek n i k delar.

Den omvända transformationen är

$a_{n}=\summa _{k=1}^{n}s(n,k)b_{k},$

där s ( n , k ) (med gemen s ) är ett Stirlingtal av det första slaget.

Berstein och Sloane (citerad nedan) säger "Om a _n är antalet objekt i någon klass med poäng märkta 1, 2, ..., n (med alla etiketter distinkta, dvs. vanliga märkta strukturer), då är b _n antalet av objekt med punkter märkta 1, 2, ..., n (med upprepningar tillåtna)."

Om

$f(x)=\summa _{n=1}^{\infty }{a_{n} \över n!}x^{n}$

är en formell kraftserie , och

$g(x)=\summa _{n=1}^{\infty }{b_{n} \över n!}x^{n}$

med a _n och b _n enligt ovan, då

$g(x)=f(e^{x}-1).\,$

På samma sätt leder den inversa transformationen till den genererande funktionsidentiteten

$f(x)=g(\log(1+x)).$

Se även

• Binomial transformation
• Genererar funktionstransformation
• Lista över faktoriella och binomiska ämnen

•   Bernstein, M.; Sloane, NJA (1995). "Några kanoniska sekvenser av heltal". Linjär algebra och dess tillämpningar . 226/228: 57–72. arXiv : math/0205301 . doi : 10.1016/0024-3795(94)00245-9 . S2CID 14672360 . .
• Khristo N. Boyadzhiev, Notes on the Binomial Transform, Theory and Table, with Appendix on the Stirling Transform (2018), World Scientific.