Gårding domän

Inom matematiken är en Gårding-domän ett begrepp i representationsteorin för topologiska grupper . Konceptet är uppkallat efter matematikern Lars Gårding .

Låt G vara en topologisk grupp och låt U vara en starkt kontinuerlig enhetlig representation av G i ett separerbart Hilbertrum H . Beteckna med g familjen för alla enparameters undergrupper av G . För varje δ = { δ ( t ) | t ∈ R } ∈ g , låt U ( δ ) beteckna självadjointgeneratorn för den enhetliga enparameterundergruppen { U ( δ ( t )) | t ∈ R }. En Gårding-domän för U är ett linjärt delrum av H som är U ( g )- och U ( δ )- invariant för alla g ∈ G och δ ∈ g och är också en domän med väsentlig självtillhörighet för U

Gårding visade 1947 att, om G är en Lie-grupp , så existerar en Gårding-domän för U bestående av oändligt differentierbara vektorer för varje kontinuerlig enhetlig representation av G . 1961 utökade Kats detta resultat till godtyckliga lokalt kompakta topologiska grupper. Dessa resultat sträcker sig dock inte lätt till det icke-lokalt kompakta fallet på grund av bristen på ett Haar-mått på gruppen. 1996 bevisade Danilenko följande resultat för grupper G som kan skrivas som den induktiva gränsen för en ökande sekvens G ₁ ⊆ G ₂ ⊆ ... av lokalt kompakta sekundräknebara undergrupper :

Låt U vara en starkt kontinuerlig enhetlig representation av G i ett separerbart Hilbertrum H . Sedan finns det ett separerbart kärnmontellrum F och en kontinuerlig, bijektiv , linjär karta J : F → H så att

det dubbla rummet för F , betecknat med F ^∗ , har strukturen av ett separerbart Fréchet-utrymme med avseende på den starka topologin på den dubbla parningen ( F ^∗ , F );
bilden av J , im( J ), är tät i H ;
för alla g ∈ G , U ( g )(im( J )) = im( J );
för alla δ ∈ g , U ( δ )(im( J )) ⊆ im( J ) och im( J ) är en domän av väsentlig självtillhörighet för U ( δ );
för alla g ∈ G , J ⁻¹ U ( g ) J är en kontinuerlig linjär avbildning från F till sig själv;
dessutom är kartan G → Lin( F ; F ) som tar g till J ⁻¹ U ( g ) J kontinuerlig med avseende på topologin på G och den svaga operatortopologin på Lin( F ; F ).

Mellanrummet F är känt som ett starkt Gårdingutrymme för U och im( J ) kallas ett starkt Gårdingsdomän för U . Under ovanstående antaganden om G finns det en naturlig Lie-algebrastruktur på G , så det är vettigt att kalla g Lie-algebra för G.

Danilenko, Alexandre I. (1996). "Gårdingsdomäner för enhetliga representationer av räknebara induktiva gränser för lokalt kompakta grupper". Matta. Fiz. Anal. Geom . 3 : 231-260.
Gårding, Lars (1947). "Anteckning om kontinuerliga representationer av Lie-grupper" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 33 (11): 331–332. Bibcode : 1947PNAS...33..331G . doi : 10.1073/pnas.33.11.331 . PMC 1079067 . PMID 16588760 .
Kats, GI (1961). "Generaliserade funktioner på en lokalt kompakt grupp och sönderdelning av enhetlig representation". Trudy Moskov. Matta. Obshch. (på ryska). 10 : 3–40.