Fyrdubbel produkt

Se även: Vektoralgebrarelationer

I matematik är den fyrdubbla produkten en produkt av fyra vektorer i det tredimensionella euklidiska rummet . Namnet "fyrdubbel produkt" används för två olika produkter, den skalärvärdade skalära fyrdubbla produkten och den vektorvärderade vektorfyrdubbelprodukten eller vektorprodukten av fyra vektorer .

Skalär fyrdubbel produkt

Den skalära fyrdubbla produkten definieras som prickprodukten av två korsprodukter :

$(\mathbf {a\times b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\ ,$

där a, b, c, d är vektorer i tredimensionellt euklidiskt rum. Det kan utvärderas med hjälp av identiteten:

$(\mathbf {a\times b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a\cdot c} )(\mathbf {b\cdot d} ) -(\mathbf {a\cdot d} )(\mathbf {b\cdot c} )\ .$

eller genom att använda determinanten :

$(\mathbf {a\times b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )={\begin{vmatrix}\mathbf {a\cdot c} &\mathbf {a\ cdot d} \\\mathbf {b\cdot c} &\mathbf {b\cdot d} \end{vmatrix}}\ .$

Bevis

Det bevisar vi först

${\begin{aligned}\mathbf {c} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\cdot \mathbf {d} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b } )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} ).\end{aligned}}$

Detta kan visas med enkel matrisalgebra genom att använda överensstämmelsen mellan elementen i $\mathbb {R} ^{3}$ och ${\mathfrak {so}}(3)$ , ges av $\mathbb {R} ^{3}\ni \mathbf {a} ={\begin{bmatrix }a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\mapsto \mathbf {\hat {a}} \in {\mathfrak {so}}(3)$ , var

${\begin{aligned}\mathbf {\hat {a}} ={\begin{bmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\a_{3}&0&-a_{1}\\- a_{2}&a_{1}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

Av egenskaperna hos skevsymmetriska matriser följer sedan att

${\begin{aligned}\mathbf {c} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\cdot \mathbf {d} =(\mathbf {\hat {c}} \mathbf {\hat {b}} \mathbf {a} )^{\mathrm {T} }\mathbf {d} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {\hat {b}} \ mathbf {\hat {c}} \mathbf {d} =(-\mathbf {\hat {b}} \mathbf {a} )^{\mathrm {T} }\mathbf {\hat {c}} \mathbf {d} =(\mathbf {\hat {a}} \mathbf {b} )^{\mathrm {T} }\mathbf {\hat {c}} \mathbf {d} =(\mathbf {a} \ gånger \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} ).\end{aligned}}$

Det vet vi också från vektortrippelprodukter

${\begin{aligned}\mathbf {c} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} .\end{aligned}}$

Genom att använda denna identitet tillsammans med den vi just har härlett, får vi den önskade identiteten: [

${\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=\mathbf {c} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\cdot \mathbf {d} =\left[(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} \right]\cdot \mathbf {d} =(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} ) -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} ).\end{aligned}}$

Vektor fyrdubbla produkt

Vektorns fyrdubbla produkt definieras som korsprodukten av två korsprodukter:

$(\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\ ,$

där a, b, c, d är vektorer i tredimensionellt euklidiskt rum. Det kan utvärderas med hjälp av identiteten:

$(\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } ( \mathbf {c} \times \mathbf {d} )=[\mathbf {a,\ b,\ d} ]\mathbf {c} -[\mathbf {a,\ b,\ c} ]\mathbf {d } \ ,$

använder notationen för trippelprodukten :

$[\mathbf {a,\ b,\ c} ]=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\ .$

Likvärdiga former kan erhållas med hjälp av identiteten:

$[\mathbf {b,\ c,\ d} ]\mathbf {a} -[\mathbf {c,\ d,\ a} ]\mathbf {b} +[\mathbf {d,\ a, \ b} ]\mathbf {c} -[\mathbf {a,\ b,\ c} ]\mathbf {d} =0\ .$

Denna identitet kan också skrivas med tensornotation och Einsteins summationskonvention enligt följande:

$(\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=\varepsilon _ {ijk}a^{i}c^{j}d^{k}b^{l}-\varepsilon _{ijk}b^{i}c^{j}d^{k}a^{l} =\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}d^{k}c^{l}-\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}d ^{l}$

Ansökan

De fyrdubbla produkterna är användbara för att härleda olika formler i sfärisk och plan geometri. Till exempel, om fyra punkter väljs på enhetssfären, A, B, C, D och enhetsvektorer ritade från sfärens centrum till de fyra punkterna, a, b, c, d respektive, identiteten:

$(\mathbf {a\times b} )\mathbf { \cdot } (\mathbf {c\times d} )=(\mathbf {a\cdot c} )(\mathbf {b\cdot d} )-(\mathbf {a\cdot d} )(\mathbf {b \cdot c} )\ ,$

i samband med förhållandet för storleken på korsprodukten:

$\|\mathbf {a\times b} \|=ab\sin \theta _{ab}\ ,$

och punktprodukten:

$\mathbf {a\cdot b} =ab\cos \theta _{ab}\ ,$

där a = b = 1 för enhetssfären, resulterar i identiteten bland vinklarna som tillskrivs Gauss:

$\sin \theta _{ab}\sin \ theta _{cd}\cos x=\cos \theta _{ac}\cos \theta _{bd}-\cos \theta _{ad}\cos \theta _{bc}\ ,$

där x är vinkeln mellan a × b och c × d , eller ekvivalent, mellan planen som definieras av dessa vektorer.

Josiah Willard Gibbs banbrytande arbete med vektorkalkyl ger flera andra exempel.

Se även

• Binet–Cauchy identitet
• Lagranges identitet

Anteckningar

• Gibbs, Josiah Willard; Wilson, Edwin Bidwell (1901). Vektoranalys: en lärobok för användning av matematikstudenter . Scribner.