Binet–Cauchy identitet

I algebra anger Binet -Cauchy-identiteten , uppkallad efter Jacques Philippe Marie Binet och Augustin-Louis Cauchy , att

$$\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{ i}\right)\left(\summa _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)=\left(\summa _{i=1}^{n}a_{i }d_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)+\summa _{1\leq i<j\leq n}( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})$$

för varje val av reella eller komplexa tal (eller mer allmänt, element i en kommutativ ring ). Genom att sätta a _i = c _i och b _j = d _j , ger det Lagranges identitet , vilket är en starkare version av Cauchy-Schwarz-olikheten för det euklidiska rummet ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Binet-Cauchy-identiteten är ett specialfall av Cauchy-Binets formel för matrisdeterminanter.

Binet-Cauchy-identiteten och yttre algebra

När n = 3 blir de första och andra termerna på höger sida de kvadratiska storlekarna av punkt- respektive korsprodukter ; i n dimensioner blir dessa storleken på dot- och wedge-produkterna . Vi kanske skriver det

$$(a\cdot c)(b\cdot d)=( a\cdot d)(b\cdot c)+(a\kil b)\cdot (c\kil d)$$

där a , b , c och d är vektorer. Det kan också skrivas som en formel som ger prickprodukten av två kilprodukter, som

$$(a\wedge b)\cdot (c\wedge d) )=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)\,,$$

som kan skrivas som

$$(a\times b)\cdot (c\times d) =(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)$$

i fallet n = 3 .

I specialfallet a = c och b = d , ger formeln efter

$$|a\wedge b|^{2}=|a|^{2}|b|^{2}-|a\cdot b|^{2}.$$

När både a och b är enhetsvektorer får vi den vanliga relationen

$$\sin ^{2}\phi =1-\cos ^{2}\phi$$

där φ är vinkeln mellan vektorerna.

Detta är ett specialfall av den inre produkten på den yttre algebra av ett vektorrum, som definieras på kilnedbrytbara element som Gram-determinanten för deras komponenter.

Einstein notation

Ett förhållande mellan Levi-Cevita-symbolerna och det generaliserade Kroneckerdeltat är

$${\frac {1}{k!}}\varepsilon ^{\lambda _{1}\cdots \lambda _{k}\mu _{k+1}\cdots \mu _{n}}\ varepsilon _{\lambda _{1}\cdots \lambda _{k}\nu _{k+1}\cdots \nu _{n}}=\delta _{\nu _{k+1}\cdots \ nu _{n}}^{\mu _{k+1}\cdots \mu _{n}}\,.$$

( $(a\wedge b)\cdot (c\wedge d) )=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)}$ form av Binet–Cauchy-identiteten kan skrivas som

$${\frac {1}{(n-2)!}}\left(\varepsilon ^{\mu _{1}\cdots \mu _{n-2}\alpha \beta }~a_{\ alpha }~b_{\beta }\right)\left(\varepsilon _{\mu _{1}\cdots \mu _{n-2}\gamma \delta}~c^{\gamma }~d^{ \delta }\right)=\delta _{\gamma \delta }^{\alpha \beta }~a_{\alpha }~b_{\beta }~c^{\gamma }~d^{\delta }\ ,.$$

Bevis

Förlänger den senaste terminen,

$${\begin{aligned}&\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{ j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})\\={}&{}\summa _{1\leq i<j\leq n}(a_ {i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\summa _{i=1}^{n}a_{i} c_{i}b_{i}d_{i}-\summa _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_ {j}b_{i}c_{i})-\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}\end{aligned}}$$

där den andra och den fjärde termen är samma och på konstgjord väg adderas för att slutföra beloppen enligt följande:

$$=\sum _{i=1}^{n}\summa _{j=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\summa _{i =1}^{n}\summa _{j=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}.$$

Detta avslutar beviset efter att ha räknat ut termerna indexerade med i .

Generalisering

En allmän form, även känd som Cauchy-Binet-formeln , säger följande: Antag att A är en m × n matris och B är en n × m matris. Om S är en delmängd av {1, ..., n } med m element, skriver vi A _S för matrisen m × m vars kolumner är de kolumner i A som har index från S . På liknande sätt skriver vi B _S för matrisen m × m vars rader är de rader av B som har index från S . Då determinanten för matrisprodukten av A och B identiteten

$$\det(AB)=\sum _{S\subset \{1,\ldots ,n\} \atop |S|=m}\det( A_{S})\det(B_{S}),$$

där summan sträcker sig över alla möjliga delmängder S av {1, ..., n } med m element.

Vi får den ursprungliga identiteten som specialfall genom inställning

$$A={\begin{pmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\\b_{1}&\dots &b_{n}\end{pmatrix}},\quad B={\begin{ pmatrix}c_{1}&d_{1}\\\vdots &\vdots \\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}}.$$

Anteckningar

• Aitken, Alexander Craig (1944), Determinanter och matriser , Oliver och Boyd
• Harville, David A. (2008), Matrix Algebra från en statistikers perspektiv , Springer