Formler om vektorer i tredimensionellt euklidiskt rum
Följande är viktiga identiteter i vektoralgebra . Identiteter som involverar storleken på en vektor
‖
A
‖
{\displaystyle \|\mathbf {A} \|}
punktprodukten (skalär produkt) av två vektorer A · B , gäller för vektorer i vilken dimension som helst. Identiteter som använder korsprodukten (vektorprodukt) A × B definieras endast i tre dimensioner.
Storheter
Storleken på en vektor A kan uttryckas med hjälp av punktprodukten:
‖
A
‖
2
=
A ⋅ A
{\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=\mathbf {A\cdot A} }
I det tredimensionella euklidiska rymden bestäms storleken på en vektor från dess tre komponenter med hjälp av Pythagoras sats :
‖
A
‖
2
=
A
1
2
+
A
2
2
+
A
3
2
{\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2} +A_{3}^{2}}
Ojämlikheter
Cauchy –Schwarz-olikheten :
A
⋅
B
≤
‖
A
‖
‖
B
‖
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \leq \left\|\mathbf {A} \right\|\left\| \mathbf {B} \right\|}
Triangelolikheten :
‖
A + B
‖ ≤ ‖
A
‖ + ‖
B
‖
\|}
{\displaystyle \|\mathbf {A+B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B }
Den omvända triangelolikheten :
‖
A − B
‖ ≥
|
‖
A
‖ − ‖
B
‖
|
{\displaystyle \|\mathbf {AB} \|\geq {\Bigl |}\|\mathbf {A} \|-\|\mathbf {B} \|{\Bigr |}}
Vinklar
Vektorprodukten och skalärprodukten av två vektorer definierar vinkeln mellan dem, säg θ :
sin θ =
‖
A
×
B
‖
‖
A
‖
‖
B
‖
( − π < θ ≤ π )
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \ |}{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )}
För att uppfylla högerregeln , för positiv θ , är vektor B moturs från A och för negativ θ är den medurs.
cos θ =
A
⋅
B
‖
A
‖
‖
B
‖
( − π < θ ≤ π )
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }{\left\ |\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )}
Den pythagoras trigonometriska identiteten ger då:
‖
A × B
‖
2
+ (
A
⋅
B
)
2
=
‖
A
‖
2
‖
B
‖
2
{\displaystyle \left\|\mathbf {A\times B} \right\|^{2}+(\mathbf { A} \cdot \mathbf {B} )^{2}=\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}}
Om en vektor A = ( A x , A y , A z ) gör vinklarna α , β , γ med en ortogonal uppsättning av x- , y- och z- axlar, då:
cos α =
A
x
A
x
2
+
A
y
2
+
A
z
2
=
A
x
‖
A
‖
,
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A_{x}}{\sqrt {A_{x}^ {2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}}={\frac {A_{x}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,}
och analogt för vinklarna β, y. Följaktligen:
A
=
‖
A
‖
(
cos α
i
^
+ cos β
j
^
+ cos γ
k
^
)
,
{\displaystyle \mathbf {A} =\left\|\mathbf {A} \right\|\left( \cos \alpha \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \beta \ {\hat {\mathbf {j} }}+\cos \gamma \ {\hat {\mathbf {k} }} \höger),}
med
i
^
,
j
^
,
k
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},\ {\hat {\mathbf {j} }},\ {\hat {\mathbf {k} }}}
Ytor och volymer
Arean Σ för ett parallellogram med sidorna A och B som innehåller vinkeln θ är:
Σ = A B sin θ ,
{\displaystyle \Sigma =AB\sin \theta ,}
vilket kommer att kännas igen som storleken på vektorkorsprodukten av vektorerna A och B som ligger längs parallellogrammets sidor. Det är:
Σ =
‖
A
×
B
‖
=
‖
A
‖
2
‖
B
‖
2
−
(
A
⋅
B
)
2
.
{\displaystyle \Sigma =\left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left \|\mathbf {B} \right\|^{2}-\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}}\ .}
(Om A , B är tvådimensionella vektorer är detta lika med determinanten för 2 × 2-matrisen med raderna A , B .) Kvadraten för detta uttryck är:
Σ
2
= (
A ⋅ A
) (
B ⋅ B
) − (
A ⋅ B
) (
B ⋅ A
) = Γ (
A
,
B
) ,
{\displaystyle \Sigma ^{2}=(\mathbf {A\cdot A } )(\mathbf {B\cdot B} )-(\mathbf {A\cdot B} )(\mathbf {B\cdot A} )=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} ) \ ,}
där Γ( A , B ) är gramdeterminanten för A och B definierade av:
Γ (
A
,
B
) =
|
A ⋅ A
A ⋅ B
B ⋅ A
B ⋅ B
|
.
{\displaystyle \Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} \\\mathbf {B\ cdot A} &\mathbf {B\cdot B} \end{vmatrix}}\ .}
På ett liknande sätt ges den kvadratiska volymen V av en parallellepiped som spänns av de tre vektorerna A , B , C av gramdeterminanten för de tre vektorerna:
V2
_
= Γ (
A
,
B
,
C
) =
|
A ⋅ A
A ⋅ B
A ⋅ C
B ⋅ A
B ⋅ B
B ⋅ C
C ⋅ A
C ⋅ B
C ⋅ C
|
,
{\displaystyle V^{2}=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} ,\ \mathbf {C} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\ mathbf {A\cdot B} &\mathbf {A\cdot C} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} &\mathbf {B\cdot C} \\\mathbf {C \cdot A} &\mathbf {C\cdot B} &\mathbf {C\cdot C} \end{vmatrix}}\ ,}
Eftersom A , B, C är tredimensionella vektorer är detta lika med kvadraten på den skalära trippelprodukten
det [
A
,
B
,
C
] =
|
A
,
B
,
C
|
{\displaystyle \det[\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ]=|\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} |} nedan
Denna process kan utökas till n -dimensioner.
Addition och multiplikation av vektorer
Kommutativitet för addition:
A
+
B
=
B
+
A
{\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A} }
Kommutativitet för skalär produkt:
A
⋅
B
=
B
⋅
A
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }
Antikommutativitet för korsprodukt:
A
×
B
=
− B
×
A
{\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\mathbf {-B} \times \mathbf {A} }
Fördelning av multiplikation med en skalär över addition:
c (
A
+
B
) = c
A
+ c
B
{\displaystyle c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf { B} }
Fördelning av skalär produkt över addition:
(
A
+
B
)
⋅
C
=
A
⋅
C
+
B
⋅
C
{\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C} = \mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} }
Fördelning av vektorprodukt över addition:
(
A
+
B
) ×
C
=
A
×
C
+
B
×
C
{\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\times \mathbf {C} =\mathbf {A } \times \mathbf {C} +\mathbf {B} \times \mathbf {C} }
Skalär trippelprodukt :
A
⋅ (
B
×
C
) =
B
⋅ (
C
×
A
) =
C
⋅ (
A
×
B
) =
|
A
B
C
|
=
|
A
x
B
x
C
x
A
y
B
y
C
y
A
z
B
z
C
z
|
.
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf { C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |={\begin{vmatrix}A_{x }&B_{x}&C_{x}\\A_{y}&B_{y}&C_{y}\\A_{z}&B_{z}&C_{z}\end{vmatrix}}.}
Vektortrippelprodukt :
A
× (
B
×
C
) = (
A
⋅
C
)
B
− (
A
⋅
B
)
C
{\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )= (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C} }
Jacobi identitet :
0
A
× (
B
×
C
) +
C
× (
A
×
B
) +
B
× (
C
×
A
) = .
{\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf { B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {0} .}
Binet-Cauchy identitet :
(
A × B
)
⋅
(
C
×
D
)
=
(
A
⋅
C
)
(
B
⋅
D
)
−
(
B
⋅
C
)
(
A
⋅
D
)
.
{\displaystyle \mathbf {\left(A\times B\right)\cdot } \left(\mathbf {C} \times \mathbf {D} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)-\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {A } \cdot \mathbf {D} \right).}
Lagranges identitet :
|
A
×
B
|
2
= (
A
⋅
A
) (
B
⋅
B
) − (
A
⋅
B
)
2
{\displaystyle |\mathbf {A} \times \mathbf {B} |^{2}=(\mathbf {A} \cdot \ mathbf {A} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}}
Vektor fyrdubbla produkt :
(
A
×
B
) × (
C
×
D
) =
|
A
B
D
|
C
−
|
A
B
C
|
D
=
|
A
C
D
|
B
−
|
B
C
D
|
A
.
{\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\times (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )\ =\ |\mathbf {A} \,\mathbf {B} \ ,\mathbf {D} |\,\mathbf {C} \,-\,|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |\,\mathbf {D} \ =\ |\mathbf {A} \,\mathbf {C} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {B} \,-\,|\mathbf {B} \,\mathbf {C} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {A} .}
En konsekvens av föregående ekvation:
|
A
B
C
|
D
= (
A
⋅
D
)
(
B
×
C
)
+
(
B
⋅
D
)
(
C
×
A
)
+
(
C
⋅
D
)
(
A
×
B
)
.
{\displaystyle |\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |\,\mathbf {D} =(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )\left(\ mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {C} \times \mathbf {A} \right )+\left(\mathbf {C} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right).}
I 3 dimensioner kan en vektor D uttryckas i termer av basvektorer { A , B , C } som:
D
=
D
⋅ (
B
×
C
)
|
A
B
C
|
A
+
D
⋅ (
C
×
A
)
|
A
B
C
|
B
+
D
⋅ (
A
×
B
)
|
A
B
C
|
C
.
{\displaystyle \mathbf {D} \ =\ {\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B } \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {A} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )}{|\mathbf {A } \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {B} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} ) }{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {C} .}
Se även
Anteckningar
![{\displaystyle \det[\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ]=|\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbfcf1712714fb56603c5bc2458d5c0daf27a24)
