Friedrichs förlängning

I funktionell analys är Friedrichs- förlängningen en kanonisk självadjoint förlängning av en icke-negativ tätt definierad symmetrisk operator . Den är uppkallad efter matematikern Kurt Friedrichs . Denna förlängning är särskilt användbar i situationer där en operatör kan misslyckas med att vara väsentligen självansluten eller vars väsentliga självtillhörighet är svår att visa.

En operator T är icke-negativ om

\langle \xi \mid T\xi \rangle \geq 0\quad \xi \i \operatörsnamn {dom} \ T

Exempel

Exempel . Multiplikation med en icke-negativ funktion på ett L ^2- mellanslag är en icke-negativ självadjointoperator.

Exempel . Låt U vara en öppen uppsättning i R ⁿ . På L ² ( U ) betraktar vi differentialoperatorer av formen

[T \phi ](x)=-\summa _{i,j}\partial _{x_{i}}\{a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}\phi (x)\} \quad x\in U,\phi \in \operatörsnamn {C} _{c}^{\infty }(U),

där funktionerna a _{i j} är oändligt differentierbara verkliga funktioner på U . Vi anser att T verkar på det täta underrummet av oändligt differentierbara komplext värderade funktioner av kompakt stöd, i symboler

\operatorname {C} _{c}^{\infty }(U)\subseteq L^{2}(U).

Om för varje x ∈ U matrisen n × n

{\begin{bmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\cdots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x )&a_{22}(x)&\cdots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\cdots &a_{nn}(x)\end{bmatrix}}

är icke-negativ semidefinitiv, då är T en icke-negativ operator. Detta betyder (a) att matrisen är hermitisk och

\sum _{i,j}a_{ij}(x)c_{i}{\overline {c_{j}}}\geq 0

för varje val av komplexa tal c ₁ , ..., c _n . Detta bevisas med hjälp av integrering av delar .

Dessa operatorer är elliptiska även om elliptiska operatorer i allmänhet inte är icke-negativa. De är dock avgränsade underifrån.

Definition av Friedrichs förlängning

Definitionen av Friedrichs förlängning är baserad på teorin om slutna positiva former på Hilbert-utrymmen. Om T är icke-negativ, då

\operatorname {Q} (\xi ,\eta )=\langle \xi \mid T\eta \rangle +\langle \xi \mid \eta \rangle

är en sesquilinjär form på dom T och

\operatörsnamn {Q} (\xi ,\xi )=\langle \xi \mid T\xi \rangle +\langle \xi \mid \xi \rangle \geq \|\xi \|^{2} .

Sålunda definierar Q en inre produkt på dom T . Låt H ₁ vara kompletteringen av dom T med avseende på Q. H ₁ är ett abstrakt definierat rum; till exempel kan dess element representeras som ekvivalensklasser av Cauchy-sekvenser av element av dom T . Det är inte uppenbart att alla element i H ₁ kan identifieras med element av H . Följande kan dock bevisas:

Den kanoniska inkluderingen

\operatörsnamn {dom} \ T\rightarrow H

sträcker sig till en injektiv kontinuerlig karta H ₁ → H . Vi betraktar H ₁ som ett delrum av H .

Definiera en operator A med

\operatörsnamn {dom} \ A=\{\xi \in H_{1}:\phi _{\xi }:\eta \mapsto \operatörsnamn {Q} (\xi ,\eta ){\mbox { är avgränsad linjär.}}\}

I formeln ovan är bounded relativt till topologin på H ₁ som ärvts från H . Genom Riesz-representationssatsen tillämpad på den linjära funktionella φ _ξ utsträckt till H , finns det en unik A ξ ∈ H så att

\operatorname {Q} (\xi ,\eta )=\langle A\xi \mid \eta \rangle \quad \eta \ i H_{1}

Sats . A är en icke- negativ självadjointoperator så att Ti = _A - I förlänger T .

T ₁ är Friedrichs förlängning av T .

Kreins sats om icke-negativa själv-adjoint extensions

MG Kerin har gett en elegant karaktärisering av alla icke-negativa självtillslutande förlängningar av en icke-negativ symmetrisk operator T .

Om T , S är icke-negativa självadjoinerande operatorer, skriv

T\leq S

om och endast om,

$\operatörsnamn {dom} (S^{1/2})\subseteq \operatörsnamn {dom} (T^{1/2})$
${\^{displaystyle1/2} T \xi \mid T^{1/2}\xi \rangle \leq \langle S^{1/2}\xi \mid S^{1/2}\xi \rangle \quad \forall \xi \in \ operatörsnamn {dom} (S^{1/2})}$

Sats . Det finns unika självtillslutande förlängningar T _min och T _max för alla icke-negativa symmetriska operatorer T så att

T_{\mathrm {min} }\leq T_{\mathrm {max} },

och varje icke-negativ självadjoint förlängning S av T är mellan T _min och T _max , dvs.

T_{\mathrm {min} }\leq S\leq T_{\mathrm {max} }.

Se även

Anteckningar

NI Akhiezer och IM Glazman, Theory of Linear Operators in Hilbert Space, Pitman, 1981.