Fréchet algebra

₀ Inom matematiken , särskilt funktionsanalys , är en Fréchet-algebra , uppkallad efter Maurice René Fréchet , en associativ algebra $A$ över de reella eller komplexa talen som samtidigt också är ett ( lokalt konvext ) Fréchet-rum . Multiplikationsoperationen $(a,b)\mapsto a*b$ för $a,b\in A}$ måste vara gemensamt kontinuerlig . Om $\{\|\cdot \|_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ är en växande familj av seminormer för topologin för $A$ , den gemensamma kontinuiteten för multiplikation är ekvivalent med att det finns en konstant $C_{n}>0$ och heltal $m\geq n$ för varje $n$ så att $\left\|ab\right\|_{n}\leq C_{n}\left\|a\right\ |_{m}\left\|b\right\|_{m}$ för alla $a,b\in A$ . Fréchet algebror kallas också B -algebror.

En Fréchet-algebra är $m$ -konvex om det finns en sådan familj av semi-normer för vilka $m=n$ . I så fall, genom att skala om seminormerna, kan vi också ta $C_{n}=1$ för varje $n$ och seminormerna sägs vara submultiplikativa : $\|ab\|_{n}\leq \|a\|_{n}\|b\|_{n}$ för alla $a,b\in A.$$m$ -konvex Fréchet algebras kan också kallas Fréchet algebras.

En Fréchet-algebra kan ha eller inte ha ett identitetselement $1_{A$ } . Om $A$ är enhetlig kräver vi inte att $\|1_{A}\|_{n}=1,$ som ofta görs för Banach-algebror .

Egenskaper

• Kontinuitet av multiplikation. Multiplikation är separat kontinuerlig om $a_{k}b\to ab$ och $ba_{k}\to ba$ för varje ${\ displaystyle a,b\in A}$ och sekvens $a_{k}\to a$ som konvergerar i Fréchet-topologin för $A$ . Multiplikation är gemensamt kontinuerlig om $a_{k}\to a$ och $b_{k}\to b$ innebär $a_{k }b_{k}\to ab$ . Gemensam kontinuitet av multiplikation är en del av definitionen av en Fréchet algebra. För ett Fréchet-utrymme med en algebrastruktur, om multiplikationen är separat kontinuerlig, är den automatiskt gemensam kontinuerlig.
• Grupp av inverterbara element. Om $invA$ är uppsättningen av inverterbara element i $A$ , då den inversa kartan
  $${\begin{cases}invA\to invA\\u\mapsto u^{-1}\end{cases}}$$
  är kontinuerlig om och endast om $invA$ är en $G_{\delta }$ set . Till skillnad från för Banach-algebror kanske ${\displaystyle invA} inte är en$ öppen uppsättning . Om $invA$ är öppen, så kallas ${\displaystyle A} en$$Q$ -algebra . (Om $A$ råkar vara icke-enhetlig , då kan vi ansluta en enhet till $A$ och arbeta med $invA^{+}$ , eller uppsättningen av quasi invertibles kan ersätta $invA$ .)
• Villkor för $m$ -konvexitet. En Fréchet algebra är $m$ -konvex om och endast om för varje , om och endast om för en , ökande familj $\{\|\cdot \|_{ n}\}_{n=0}^{\infty }$ av seminormer som topologiserar $A$ , för varje $m\in \mathbb {N}$ finns det ${ \displaystyle p\geq m}$ och $C_{m}>0$ så att
  $$\|a_{1}a_{2}\cdots a_{n} \|_{m}\leq C_{m}^{n}\|a_{1}\|_{p}\|a_{2}\|_{p}\cdots \|a_{n}\| _{p},$$
  för alla $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in A$ och $n\in \mathbb {N}$ . En kommutativ Fréchet $Q$ -algebra är $m$ -konvex, men det finns exempel på icke-kommutativ Fréchet $Q$ -algebra som inte är $m$ -konvex.
• Egenskaper för $m$ -konvex Fréchet algebras. En Fréchet-algebra är $m$ -konvex om och endast om det är en räknebar projektiv gräns för Banach-algebror. Ett element i $A$ är inverterbart om och endast om dess bild i varje Banach-algebra i den projektiva gränsen är inverterbar.

Exempel

• Noll multiplikation. Om $E$ är vilket Fréchet-utrymme som helst, kan vi skapa en Fréchet-algebrastruktur genom att sätta $e*f=0$ för alla ${\displaystyle e,f\in$ .
• Släta funktioner på cirkeln. Låt $S^{1}$ vara 1-sfären . Detta är ett 1- dimensionellt kompakt differentierbart grenrör , utan gränser . Låt $A=C^{\infty }(S^{1})$ vara uppsättningen av oändligt differentierbara komplexa funktioner på $S^{1}$ . Detta är helt klart en algebra över de komplexa talen, för punktvis multiplikation. (Använd produktregeln för differentiering .) Den är kommutativ, och konstantfunktionen $1$ fungerar som en identitet. Definiera en räknebar uppsättning seminormer på $A$ med
  $$\left\|\varphi \right\|_{n}=\left\|\varphi ^{(n)}\right\ |_{\infty },\qquad \varphi \in A,$$
  var
  $$\left\|\varphi ^{(n)}\right\|_{\infty }=\sup _{x\in {S^{1}}}\left|\varphi ^{(n) }(x)\right|$$
  betecknar det högsta av det absoluta värdet av den ${\displaystyle n}:$ e derivatan $\varphi ^{(n)}$ . Sedan, genom produktregeln för differentiering, har vi
  $$displaystyle {\begin_{varphipsi}\| &=\left\|\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\varphi ^{(i)}\psi ^{(ni)}\right\|_{\infty }\ \&\leq \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\|\varphi \|_{i}\|\psi \|_{ni}\\&\leq \sum _ {i=0}^{n}{n \choose i}\|\varphi \|'_{n}\|\psi \|'_{n}\\&=2^{n}\|\varphi \|'_{n}\|\psi \|'_{n},\end{aligned}}}$$
  var
  $${n \choose i}={\frac {n!}{i!(ni)!}},$$
  betecknar binomialkoefficienten och
  $$\|\cdot \|'_{n}=\max _{k\leq n}\|\cdot \|_{k}.$$
  De primerade seminormerna är submultiplikativa efter omskalning med $C_{n}=2^{n}$ .
• Sekvenser på $\mathbb {N}$ . Låt $\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ vara utrymmet för sekvenser med komplexa värden på de naturliga talen $\mathbb {N}$ . Definiera en ökande familj av seminormer på $\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ med
  $$\|\varphi \|_{n}=\max _{k\leq n}|\varphi (k)|.$$
  Med punktvis multiplikation är $\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ en kommutativ Fréchet-algebra. Faktum är att varje seminorm är submultiplikativ $\|\varphi \psi \|_{n}\leq \|\varphi \|_{n}\| \psi \|_{n}$ för $\varphi ,\psi \in A$ . Denna $m$ -konvexa Fréchet-algebra är enhetlig, eftersom konstantsekvensen $1(k)=1,k\in \mathbb {N}$ är i $A$ .
• Utrustad med topologin för enhetlig konvergens på kompakta mängder och punktvis multiplikation, $C(\mathbb {C} )$ , algebra för alla kontinuerliga funktioner på det komplexa planet $\mathbb {C }$ , eller till algebra $\mathrm {Hol} (\mathbb {C} )$ av holomorfa funktioner på $\mathbb {C}$ .
• Konvolutionsalgebra av snabbt försvinnande funktioner på en ändligt genererad diskret grupp. Låt $G$ vara en ändligt genererad grupp , med den diskreta topologin . Detta betyder att det finns en uppsättning av ändligt många element $U=\{g_{1},\dots ,g_{n}\}\subseteq G$ såsom den där:
  $$\bigcup _{n=0}^{\infty }U^{n}=G.$$
  Utan förlust av generalitet kan vi också anta att identitetselementet $e$ av $G$ finns i $U$ . Definiera en funktion $\ell :G\to [0,\infty )$ med
  $$\ell (g)=\min\{n\mid g\in U^{n}\}.$$
  Sedan ${\displaystyle \ell (gh)\leq \ell (g)+\ell (h)} ,$ och $\ell (e)=0$ eftersom vi definierar $U^{0}=\{e\}$ . Låt $A$ vara $\mathbb {C}$ -vektorrymden
  $$S(G)={\biggr \{}\varphi :G\to \mathbb {C} \,\,{\biggl | }\,\,\|\varphi \|_{d}<\infty ,\quad d=0,1,2,\dots {\biggr \}},$$
  där seminormerna $\|\cdot \|_{d}$ definieras av
  $$\|\varphi \|_{d}=\|\ell ^{d}\varphi \|_{1}=\summa _{g\in G}\ell (g)^{d}| \varphi (g)|.$$
  $A$ är en $\displaystyle m}$ { -konvex Fréchet algebra för faltningsmultiplikationen
  $$\varphi *\psi (g)=\sum _{h\in G}\varphi (h)\ psi (h^{-1}g),$$
  $A$ är enhetlig eftersom $G$ är diskret, och $A$ är kommutativ om och endast om $G$ är Abelian .
• Non $m$ -konvex Fréchet algebras. Arens algebra
  $$A=L^{\omega }[0,1]=\bigcap _{p\geq 1}L^{p} [0,1]$$
  är ett exempel på en kommutativ icke- $m$ -konvex Fréchet-algebra med diskontinuerlig inversion. Topologin ges av $L^{p}$ normer
  $$\|f\|_{p}=\left(\int _{0}^{ 1}|f(t)|^{p}dt\right)^{1/p},\qquad f\in A,$$
  och multiplikation ges genom faltning av funktioner med avseende på Lebesgue-måttet på $[0,1]$ .

Generaliseringar

Vi kan släppa kravet på att algebra ska vara lokalt konvex, men ändå ett komplett metriskt utrymme. I det här fallet kan det underliggande utrymmet kallas ett Fréchet-utrymme eller ett F-utrymme .

Om kravet på att antalet seminormer ska kunna räknas tas bort, blir algebra lokalt konvex (LC) eller lokalt multiplikativt konvex (LMC). En komplett LMC-algebra kallas en Arens-Michael-algebra.

Öppna problem

Det kanske mest kända, fortfarande öppna problemet i teorin om topologiska algebror är om alla linjära multiplikativa funktionaler på en $m$ -konvex Frechet-algebra är kontinuerliga. Påståendet att så är fallet är känt som Michaels gissning.

Källor

•   Fragoulopoulou, Maria (2005). Topologiska algebror med involution . North-Holland Mathematics Studies. Vol. 200. Amsterdam: Elsevier BV doi : 10.1016/S0304-0208(05)80031-3 . ISBN 978-044452025-8 .
•   Husain, Taqdir (1991). Ortogonala Schauder-baser . Ren och tillämpad matematik. Vol. 143. New York City: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-8508-8 .
•   Michael, Ernest A. (1952). Lokalt multiplikativt-konvexa topologiska algebror . memoarer från American Mathematical Society. Vol. 11. MR 0051444 .
•   Mitiagin, B.; Rolewicz, S.; Żelazko, W. (1962). ₀ "Hela funktioner i B -algebror" . Studia Mathematica . 21 (3): 291–306. doi : 10.4064/sm-21-3-291-306 . MR 0144222 .
•   Palmer, TW (1994). Banach Algebras and the General Theory of *-algebras, Volym I: Algebras and Banach Algebras . Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 49. New York City: Cambridge University Press. ISBN 978-052136637-3 .
•   Rudin, Walter (1973). Funktionsanalys . Serien i högre matematik. New York City: McGraw-Hill Book. 1.8(e). ISBN 978-007054236-5 – via Internet Archive .
•    Waelbroeck, Lucien (1971). Topologiska vektorrum och algebror . Föreläsningsanteckningar i matematik. Vol. 230. doi : 10.1007/BFb0061234 . ISBN 978-354005650-8 . MR 0467234 .
•   Żelazko, W. (1965). "Metriska generaliseringar av Banach algebras". Rozprawy Mat. (Dissertationes Math.) . 47 . Sats 13.17. MR 0193532 .
•   Żelazko, W. (1994). ₀ "Angående hela funktioner i B -algebras" . Studia Mathematica . 110 (3): 283–290. doi : 10.4064/sm-110-3-283-290 . MR 1292849 .
• Żelazko, W. (2001) [1994]. "Fréchet algebra". Encyclopedia of Mathematics . EMS Press.