I q-analog teori är
q
{\displaystyle q}
grundläggande gammafunktion , en generalisering av den vanliga gammafunktionen nära besläktad med den dubbla gammafunktionen . Det introducerades av Jackson (1905) . Det ges av
Γ
q
( x ) = ( 1 − q
)
1 − x
∏
n =
0
∞
1 −
q
n + 1
1 −
q
n + x
= ( 1 − q
)
1 − x
( q ; q )
)
∞
(
q
x
; q
)
∞
{\displaystyle \Gamma _{q}(x)=(1-q)^{1-x}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-q^{n+ 1}}{1-q^{n+x}}}=(1-q)^{1-x}\,{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x };q)_{\infty }}}}
när
|
q
|
< 1
{\displaystyle |q|<1}
, och
Γ
q
( x ) =
(
q
− 1
;
q
− 1
)
∞
(
q
− x
;
q
− 1
)
∞
( q − 1
)
1 − x
q
(
x 2
)
{\displaystyle \Gamma _{q}(x )={\frac {(q^{-1};q^{-1})_{\infty }}{(q^{-x};q^{-1})_{\infty }}} (q-1)^{1-x}q^{\binom {x}{2}}}
om
|
q
|
> 1
{\displaystyle |q|>1}
. Här
( ⋅ ; ⋅
)
∞
{\displaystyle (\cdot ;\cdot )_{\infty }}
är den oändliga
q-Pochhammer-symbolen . q
{\displaystyle q} -gamma
-
funktionen uppfyller den funktionella ekvationen
Γ
q
( x + 1 ) =
1 −
q
x
1 − q
Γ
q
( x ) = [ x
]
q
Γ
q
( x )
{\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)={\frac {1 -q^{x}}{1-q}}\Gamma _{q}(x)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}
Dessutom uppfyller
q
{\displaystyle q}
-gamma-funktionen q-analogen av
Bohr–Mollerups sats , som hittades av
Richard Askey (
Askey (1978) ). För icke-negativa heltal
n ,
Γ
q
( n ) = [ n − 1
]
q
!
{\displaystyle \Gamma _{q}(n)=[n-1]_{q}!}
där
[ ⋅
]
q
{\displaystyle [\cdot ]_{q}}
är
q-faktorfunktionen . Således
q
{\displaystyle q}
-gammafunktionen betraktas som en förlängning av q-faktorfunktionen till de reella talen.
Relationen till den vanliga gammafunktionen görs explicit i limiten
lim
q → 1 ±
Γ
q
( x ) = Γ ( x ) .
{\displaystyle \lim _{q\to 1\pm }\Gamma _{q}(x)=\Gamma (x).}
Det finns ett enkelt bevis på denna gräns av Gosper. Se bilagan till (
Andrews (
1986 )).
Transformationsegenskaper
Funktionen
q
{\displaystyle q}
Gasper & Rahman (2004)) :
Γ
q
( n x )
Γ
r
( 1
/
n )
Γ
r
( 2
/
n ) ⋯
Γ
r
( ( n − 1 )
/
n ) =
(
1 −
q
n
1 − q
)
n x − 1
Γ
r
( x )
Γ
r
( x + 1
/
n ) ⋯
Γ
r
( x + ( n - 1 )
/
n ) , r =
q
n
.
{\displaystyle \Gamma _{q}(nx)\Gamma _{r}(1/n)\Gamma _{r}(2/n)\cdots \Gamma _{r}((n-1)/n )=\left({\frac {1-q^{n}}{1-q}}\right)^{nx-1}\Gamma _{r}(x)\Gamma _{r}(x+ 1/n)\cdots \Gamma _{r}(x+(n-1)/n),\ r=q^{n}.}
Integral representation
q
)
{\displaystyle q}
Ismail ( 1981 ) :
1
Γ
q
( z )
=
)
.
sin ( πz )
π∫∞t
q
0
−
zdt
−
∞
(
−t
( 1
) ; q
_ _ _ _ _
_
_
_
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma _{q}(z)}}={\frac {\sin(\pi z)}{\pi }}\int _{0}^{\infty } {\frac {t^{-z}\mathrm {d} t}{(-t(1-q);q)_{\infty }}}.}
Stirling formel
Moak erhöll följande q-analog av Stirling-formeln (se Moak (1984)) :
log
Γ
q
( x ) ∼ ( x − 1
/
2 ) log [ x
]
q
+
L i
2
( 1 −
q
x
)
log q
+
C
q ^
+
1 2
H ( q − 1 ) log q +
∑
k = 1
∞
B
2 k
( 2 k ) !
(
log
q ^
q ^
x
− 1
)
2 k − 1
q ^
x
p
2 k − 3
(
q ^
x
) , x → ∞ ,
{\displaystyle \log \Gamma _{q}(x)\sim ( x-1/2)\log[x]_{q}+{\frac {\mathrm {Li} _{2}(1-q^{x})}{\log q}}+C_{\hat {q}}+{\frac {1}{2}}H(q-1)\log q+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k) !}}\left({\frac {\log {\hat {q}}}{{\hat {q}}^{x}-1}}\right)^{2k-1}{\hat {q }}^{x}p_{2k-3}({\hat {q}}^{x}),\ x\to \infty ,}
q ^
=
{
q
i f
0
< q ≤ 1
1
/
q
i f
q ≥ 1
}
,
{\displaystyle {\hat {q}}=\left\{{\begin{aligned}q\quad \mathrm {if} \ &0<q\leq 1\\1/q\quad \mathrm {if} \ &q\geq 1\end{aligned}}\right\},}
C
q
=
1 2
log ( 2 π ) +
1 2
log
(
q − 1
log q
)
−
1 24
log q + log
∑
m = − ∞
∞
(
r
m ( 6 m + 1 )
−
_
( 3 m + 1 ) ( 2 m + 1 )
)
,
{\displaystyle C_{q}={\frac {1}{2}}\log(2\pi )+{\frac {1}{2}} \log \left({\frac {q-1}{\log q}}\right)-{\frac {1}{24}}\log q+\log \sum _{m=-\infty }^{ \infty }\left(r^{m(6m+1)}-r^{(3m+1)(2m+1)}\höger),}
där
r = exp ( 4
π
2
/
log q )
{\displaystyle r=\exp(4\pi ^{2}/\log q)}
,
H
{\displaystyle H}
betecknar
Heaviside-stegfunktionen ,
B
k
{\displaystyle B_{k}}
står för
Bernoulli-talet ,
L i
2
( z )
{\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(z)}
är dilogaritmen, och
p
k
{\displaystyle p_{k} }
är ett polynom med graden
k
{\displaystyle k}
som uppfyller
p
k
( z ) = z ( 1 − z )
p
k − 1
′
( z ) + ( k z + 1 )
p
k − 1
( z ) ,
p
0
=
p
− 1
= 1 , k = 1 , 2 , ⋯ .
{\displaystyle p_{k}(z)=z(1-z)p'_{k-1}(z)+(kz+1)p_{k-1}(z),p_{0}=p_ {-1}=1,k=1,2,\cdots .}
Formler av Raabe-typ
På grund av I. Mező finns q-analogen till Raabe-formeln , åtminstone om vi använder q-gamma-funktionen när
|
q
|
> 1
{\displaystyle |q|>1}
0
∫
1
log
Γ
q
( x ) d x =
ζ ( 2 )
log q
+ log
q − 1
q
6
+ log (
q
− 1
;
q
− 1
)
∞
( q > 1 ) .
{\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma _{q}(x)dx={\frac {\zeta (2)}{\log q}}+\log {\sqrt {\ frac {q-1}{\sqrt[{6}]{q}}}}+\log(q^{-1};q^{-1})_{\infty }\quad (q>1) .}
El Bachraoui ansåg fallet
0
< q < 1
{\displaystyle 0<q<1}
och bevisade att
0
0
∫
1
log
Γ
q
( x ) d x =
1 2
log ( 1 − q ) −
ζ ( 2 )
log q
+ log ( q ; q
)
∞
( < q < 1 ) .
{\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma _{q}(x)dx={\frac {1}{2}}\log(1-q)-{\frac {\zeta (2)}{\log q}}+\log(q;q)_{\infty }\quad (0<q<1).}
Särskilda värden
Följande specialvärden är kända.
Γ
e
− π
(
1 2
)
=
e
− 7 π
/
16
e
π
− 1
1 +
2
4
2
15
/
16
π
3
/
4
Γ
(
1 4
)
,
{\displaystyle \Gamma _{e^{-\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /16}{\sqrt {e^{\pi}-1}}{\sqrt [{4}]{1+{\sqrt {2}}}}}{2^{15/16}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{ 4}}\höger),}
Γ
e
− 2 π
(
1 2
)
=
e
− 7 π
/
8
e
2 π
− 1
2
9
/
8
π
3
/
4
Γ
(
1 4
)
,
{\displaystyle \Gamma _{e^{-2\pi } }\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /8}{\sqrt {e^{2\pi}-1}}}{2 ^{9/8}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),}
Γ
e
− 4 π
(
1 2
)
=
e
− 7 π
/
4
e
4 π
− 1
2
7
/
4
π
3
/
4
Γ
(
1 4
)
,
{\displaystyle \Gamma _{e^{-4\pi } }\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /4}{\sqrt {e^{4\pi}-1}}}{2 ^{7/4}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),}
Γ
e
− 8 π
(
1 2
)
=
e
− 7 π
/
2
e
8 π
− 1
2
9
/
4
π
3
/
4
1 +
2
Γ
(
1 4
)
.
{\displaystyle \Gamma _{e^{-8\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /2}{\sqrt {e^{8\pi}-1}}}{2^{9/4}\pi ^{3/4}{\sqrt {1+{\sqrt {2}}}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right).}
Dessa är analogerna till den klassiska formeln
Γ
(
1 2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
.
Dessutom, följande analoger av den välbekanta identiteten
Γ
(
1 4
)
Γ
(
3 4
)
=
2
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma \left({\ frac {3}{4}}\right)={\sqrt {2}}\pi }
Γ
e
− 2 π
(
1 4
)
Γ
e
− 2 π
(
3 4
)
=
e
− 29 π
/
16
(
e
2 π
− 1
)
1 +
2
4
2
33
/
16
π
3
/
2
Γ
) (
1 _
_
,
{\displaystyle \Gamma _{e^{-2\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-2\pi }}\left({ \frac {3}{4}}\right)={\frac {e^{-29\pi /16}\left(e^{2\pi}-1\right){\sqrt[{4}] {1+{\sqrt {2}}}}}{2^{33/16}\pi ^{3/2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right )^{2},}
Γ
e
− 4 π
(
1 4
)
Γ
e
− 4 π
(
3 4
)
=
e
− 29 π
/
8
(
e
4 π
− 1
)
2
23
/
8
π
3
/
2
Γ
(
1 4
) stil
2
,
{\ \Gamma _{e^{-4\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-4\pi }}\left({\frac {3 }{4}}\right)={\frac {e^{-29\pi /8}\left(e^{4\pi}-1\right)}{2^{23/8}\pi ^ {3/2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2},}
Γ
e
− 8 π
(
1 4
)
Γ
e
− 8 π
(
3 4
)
=
e
− 29 π
/
4
(
e
8 π
− 1
)
16
π
3
/
2
1 +
2
Γ
(
1 4
)
2
.
{\displaystyle \Gamma _{e^{-8\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-8\pi }}\left({\ frac {3}{4}}\right)={\frac {e^{-29\pi /4}\left(e^{8\pi}-1\right)}{16\pi ^{3/ 2}{\sqrt {1+{\sqrt {2}}}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}.}
Matrix version
Låt
A
{\displaystyle A}
Positiv-definitiv matris . Sedan kan en q-gamma-matrisfunktion definieras av q-integralen:
Γ
q
( A ) :=
0
∫
1
1 − q
t
A − I
E
q
( − q t )
d
q
t
{\displaystyle \Gamma _{q}(A):=\int _{0}^{\frac {1}{1-q}}t^{AI}E_{q}(-qt)\mathrm {d} _{q}t}
där
E
q
{\displaystyle E_{q}}
är
q-exponentialfunktionen .
Andra q-gamma funktioner
För andra q-gamma-funktioner, se Yamasaki 2006.
Numerisk beräkning
En iterativ algoritm för att beräkna q-gamma-funktionen föreslogs av Gabutti och Allasia.
Vidare läsning
Zhang, Ruiming (2007), "On asymptotics of q -gamma functions", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 339 (2): 1313–1321, arXiv : 0705.2802 , Bibcode 2008JMAA..339.131Z 1 doi103 : j .jmaa.2007.08.006 , S2CID 115163047
Zhang, Ruiming (2010), "Om asymptotik av Γ q (z) när q närmar sig 1", arXiv : 1011.0720 math.CA ]
Ismail, Mourad EH; Muldoon, Martin E. (1994), "Inequalities and monotonicity properties for gamma and q -gamma functions", i Zahar, RVM (red.), Approximation and computation a festschrift in honor of Walter Gautschi: Proceedings of the Purdue conference, december 2-5, 1993 , vol. 119, Boston: Birkhäuser Verlag, s. 309–323, arXiv : 1301.1749 doi : 10.1007/978-1-4684-7415-2_19 , ISBN 978-1-46584-214-314-314-7 , S6184-314-314-7 , ID 3184-314-7 , S6184-24-7
Jackson, FH (1905), "The Basic Gamma-Function and the Elliptic Functions", Proceedings of the Royal Society of London. Series A , Containing Papers of a Mathematical and Physical Character , The Royal Society, 76 (508): 127–144, Bibcode : 1905RSPSA..76..127J , doi : 10.1098/rspa.1905.0011 705.0001 705.0001 901 001 901 901 901 001 901 901 001 90
Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Basic hypergeometric series , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 96 (andra upplagan), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8 MR 2128719
Ismail, Mourad (1981), "The Basic Bessel Functions and Polynomials", SIAM Journal on Mathematical Analysis , 12 (3): 454–468, doi : 10.1137/0512038
Moak, Daniel S. (1984), "The Q-analog of Stirling's formula", Rocky Mountain J. Math. , 14 (2): 403–414, doi : 10.1216/RMJ-1984-14-2-403
Mező, István (2012), "A q-Raabe formula and an integral of the fourth Jacobi theta function", Journal of Number Theory , 133 (2): 692–704, doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.025
El Bachraoui, Mohamed (2017), "Short proofs for q-Raabe formula and integrals for Jacobi theta functions", Journal of Number Theory , 173 (2): 614–620, doi : 10.1016/j.jnt.2016.09.028
Askey, Richard (1978), "The q-gamma and q-beta functions.", Applicable Analysis , 8 (2): 125–141, doi : 10.1080/00036817808839221
Andrews, George E. (1986), q-serien: Deras utveckling och tillämpning inom analys, talteori, kombinatorik, fysik och datoralgebra. , Regional Conference Series in Mathematics, vol. 66, American Mathematical Society
![{\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)={\frac {1-q^{x}}{1-q}}\Gamma _{q}(x)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1369d42adac73e85d50ce69ed4e83fe4d9432ce7)
![{\displaystyle \Gamma _{q}(n)=[n-1]_{q}!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4be916fb8ef9c2bb7a93ee692b3719d096150dbe)
![{\displaystyle [\cdot ]_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46774647e16db9db5cc5a224d1b2e41c74299a7)
![{\displaystyle \log \Gamma _{q}(x)\sim (x-1/2)\log[x]_{q}+{\frac {\mathrm {Li} _{2}(1-q^{x})}{\log q}}+C_{\hat {q}}+{\frac {1}{2}}H(q-1)\log q+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left({\frac {\log {\hat {q}}}{{\hat {q}}^{x}-1}}\right)^{2k-1}{\hat {q}}^{x}p_{2k-3}({\hat {q}}^{x}),\ x\to \infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b053f1eb6b1d1d4955b9cd1dc622684208f62690)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma _{q}(x)dx={\frac {\zeta (2)}{\log q}}+\log {\sqrt {\frac {q-1}{\sqrt[{6}]{q}}}}+\log(q^{-1};q^{-1})_{\infty }\quad (q>1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18dd5281744cfa39cf8031d498765542f51ae6b7)
![{\displaystyle \Gamma _{e^{-\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /16}{\sqrt {e^{\pi }-1}}{\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}}{2^{15/16}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f71abb2b0db4f868e47ab53b290c91a3af628c63)
![{\displaystyle \Gamma _{e^{-2\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-2\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {e^{-29\pi /16}\left(e^{2\pi }-1\right){\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}}{2^{33/16}\pi ^{3/2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea69d2a13e0234e013c8f9db64ae1d4978eba583)
