Elliptisk gammafunktion

Inom matematiken är den elliptiska gammafunktionen en generalisering av q-gammafunktionen , som i sig är q-analogen till den vanliga gammafunktionen . Det är nära besläktat med en funktion som studerats av Jackson (1905) , och kan uttryckas i termer av den trippelgamma-funktionen . Det ges av

$\Gamma (z;p,q)=\prod _{m=0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-p^{m+ 1}q^{n+1}/z}{1-p^{m}q^{n}z}}.$

Den lyder flera identiteter:

$\Gamma (z;p,q)={\frac {1}{\Gamma (pq/z;p, q)}}\,$

$\Gamma (pz;p,q)=\theta (z;q )\Gamma (z;p,q)\,$

och

$\Gamma (qz;p,q)=\theta (z;p)\Gamma (z;p ,q)\,$

där θ är q-theta-funktionen .

När $p=0$ reduceras i huvudsak till den oändliga q-Pochhammer-symbolen :

$\Gamma (z;0,q)={\frac {1}{(z;q)_{\infty }}}.$

Formel för multiplikation

Definiera

${\tilde {\Gamma }}(z;p,q):={\frac {(q;q)_{\infty }}{(p;p)_{\infty }}}(\ theta (q;p))^{1-z}\prod _{m=0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-p^{m+ 1}q^{n+1-z}}{1-p^{m}q^{n+z}}}.$

Då gäller följande formel med $r=q^{n}$ ( Felder & Varchenko (2002) ) .

${\tilde {\Gamma }}(nz;p,q){\tilde {\Gamma }}(1/n;p,r){\tilde {\Gamma }}(2/n;p, r)\cdots {\tilde {\Gamma }}((n-1)/n;p,r)=\left({\frac {\theta (r;p)}{\theta (q;p)} }\right)^{nz-1}{\tilde {\Gamma }}(z;p,r){\tilde {\Gamma }}(z+1/n;p,r)\cdots {\tilde { \Gamma }}(z+(n-1)/n;p,r).$

• Felder, G.; Varchenko, A. (2002). "Multiplikationsformler för den elliptiska gammafunktionen". arXiv : math/0212155 . doi : 10.48550/arXiv.math/0212155 Tillgänglig via Archive.org
•    Jackson, FH (1905), "The Basic Gamma-Function and the Elliptic Functions", Proceedings of the Royal Society of London. Series A , Containing Papers of a Mathematical and Physical Character , The Royal Society, 76 (508): 127–144, Bibcode : 1905RSPSA..76..127J , doi : 10.1098/rspa.1905.0011 705.0001 705.0001 901 001 901 901 901 001 901 901 001 90
•    Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Basic hypergeometric series , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 96 (andra upplagan), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8 , MR 2128719
•    Ruijsenaars, SNM (1997), "First order analytic difference equations and integrable quantum systems" , Journal of Mathematical Physics , 38 (2): 1069–1146, Bibcode : 1997JMP ....38.1069R , doi : 10.106, ISSN 3/10.106 0022-2488 , MR 1434226
•   Felder, Giovanni; Henriques, André; Rossi, Carlo A.; Zhu, Chenchang (2008). "En gerbe för den elliptiska gammafunktionen". Duke Mathematical Journal . 141 . arXiv : math/0601337 . doi : 10.1215/S0012-7094-08-14111-0 . S2CID 817920 .