Markovs teorem

Inom matematiken ger Markov-satsen nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för att två flätor ska ha förslutningar som är likvärdiga knutar eller länkar . Villkoren anges i termer av gruppstrukturerna på flätor.

Flätor är algebraiska objekt som beskrivs med diagram; relationen till topologi ges av Alexanders teorem som säger att varje knut eller länk i tredimensionell euklidisk rymd är stängningen av en fläta . Markov-satsen, bevisad av den ryske matematikern Andrei Andreevich Markov Jr. beskriver de elementära rörelserna som genererar ekvivalensrelationen på flätor som ges av ekvivalensen av deras stängningar.

Mer exakt kan Markovs sats anges på följande sätt: givet två flätor representerade av elementen $\beta _{n},\beta _{m}'$ i flätgrupperna ${ \displaystyle B_{n},B_{m}}$ , deras stängningar är likvärdiga länkar om och endast om $\beta _{m}'$ kan erhållas genom att tillämpa på $\beta _ {n}$ en sekvens av följande operationer:

1. konjugera $\beta _{n}$ i $B_{n}$ ;
2. ersätter $\beta _{n}$ med $\beta _{n}\sigma _{n+1}^{\pm 1} \in B_{n+1}$ (här är $\sigma _{i}$ standardgeneratorerna för flätgrupperna; geometriskt motsvarar detta att lägga till en tråd till höger om flätdiagrammet och vrida den en gång med den (tidigare) sista strängen);
3. inversen av föregående operation (om $\beta _{n}=\beta _{n-1}\sigma _{n}^{\pm 1}$ med $\beta _{n-1}\in B_{n-1}$ ersätt med ${\displaystyle \beta _{n-1}} )$ .