Föreskrivet skalär krökningsproblem

I Riemannsk geometri , en gren av matematiken , är det föreskrivna skalära krökningsproblemet som följer: givet en sluten , slät grenrör M och en jämn funktion ƒ på M , konstruera en Riemannisk metrik på M vars skalära krökning är lika med ƒ . På grund av i första hand J. Kazdans och F. Warners arbete på 1970-talet är detta problem väl förstått.

Lösningen i högre dimensioner

Om dimensionen för M är tre eller större, så är varje jämn funktion ƒ som får ett negativt värde någonstans den skalära krökningen för någon riemannsk metrik. Antagandet att ƒ är negativ någonstans behövs i allmänhet, eftersom inte alla grenrör tillåter mått som har strikt positiv skalär krökning. (Till exempel är den tredimensionella torusen en sådan mångfald.) Kazdan och Warner bevisade dock att om M tillåter någon metrik med strikt positiv skalär krökning, så är varje jämn funktion ƒ skalärkrökningen för någon Riemannisk metrik.

Se även

• Föreskrivet Ricci krökningsproblem
• Yamabe problem

• Aubin, Thierry. Några olinjära problem i Riemannsk geometri. Springer Monographs in Mathematics, 1998.
• Kazdan, J. och Warner F. Skalär krökning och konform deformation av Riemann-struktur. Journal of Differential Geometry. 10 (1975). 113–134.