Exponentiell nytta

Exponentiell hjälpfunktion för olika riskprofiler

Inom ekonomi och finans är exponentiell nytta en specifik form av nyttofunktionen , som används i vissa sammanhang på grund av dess bekvämlighet när risk (ibland kallad osäkerhet) är närvarande, i vilket fall förväntad nytta maximeras. Formellt ges exponentiell nytta av:

u(c)={\begin{cases}(1-e^{-ac})/a&a\neq 0 \\c&a=0\\\end{fall}}

$c$ är en variabel som den ekonomiska beslutsfattaren föredrar mer av, såsom konsumtion, och $a$ är en konstant som representerar graden av riskpreferens ( $a>0$ för riskaversion , $a=0$ för riskneutralitet, eller $a<0$ för risk-seeking ). I situationer där endast riskaversion tillåts förenklas formeln ofta till $u(c)=1-e^{-ac}$ .

Observera att den additiva termen 1 i ovanstående funktion är matematiskt irrelevant och ingår (ibland) endast för den estetiska egenskapen att den håller intervallet för funktionen mellan noll och ett över domänen av icke-negativa värden för c . Anledningen till dess irrelevans är att maximering av det förväntade värdet av nyttan $u(c)=(1-e^{-ac})/a$ ger samma resultat för valvariabeln som maximering av det förväntade värdet av $u(c)=-e^{-ac}/a$ ; eftersom förväntade nyttovärden (i motsats till själva nyttofunktionen) tolkas ordinärt istället för kardinalt , är intervallet och tecknet för de förväntade nyttovärdena utan betydelse.

Den exponentiella verktygsfunktionen är ett specialfall av de hyperboliska absoluta riskaversionsfunktionerna .

Karakteristik för riskaversion

Exponentiell nytta innebär konstant absolut riskaversion (CARA), med koefficient för absolut riskaversion lika med en konstant:

{\frac {-u''(c)}{u'(c)}}=a.

I standardmodellen för en riskfylld tillgång och en riskfri tillgång, till exempel, innebär denna funktion att det optimala innehavet av den riskfyllda tillgången är oberoende av nivån på den initiala förmögenheten; På marginalen skulle alltså eventuell ytterligare förmögenhet helt och hållet allokeras till ytterligare innehav av den riskfria tillgången. Denna funktion förklarar varför den exponentiella hjälpfunktionen anses orealistisk.

Matematisk låtbarhet

Även om isoelastisk användbarhet , som uppvisar konstant relativ riskaversion (CRRA), anses mer rimlig (liksom andra verktygsfunktioner som uppvisar minskande absolut riskaversion), är exponentiell nytta särskilt praktiskt för många beräkningar.

Konsumtionsexempel

Anta till exempel att konsumtion c är en funktion av arbetsutbud x och en slumpmässig term $\epsilon$ : c = c ( x ) + $\epsilon$ . Sedan under exponentiell nytta ges förväntad nytta av:

{\text{E}}(u(c))={\text{E}}[ 1-e^{-a(c(x)+\epsilon )}],

där E är förväntningsoperatören . Med normalfördelat brus, dvs.

\varepsilon \sim N(\mu ,\sigma ^{2}),\!

E( u ( c )) kan enkelt beräknas med det faktum att

{\text{E}}[e^{-a\varepsilon }]=e^{-a\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}} .

Således

{\text{E}}(u(c))={\text{E}}[1-e^{-a(c(x)+\epsilon )}]={\text{E} }[1-e^{-ac(x)}e^{-a\varepsilon }]=1-e^{-ac(x)}{\text{E}}[e^{-a\epsilon } ]=1-e^{-ac(x)}e^{-a\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}.

Exempel på portfölj med flera tillgångar

Betrakta portföljallokeringsproblemet med att maximera förväntad exponentiell nytta ${\text{E}}[-e^{-aW}]$ av slutlig förmögenhet W med förbehåll för

W=x'r+(W_{0}-x'k)\cdot r_{f}

där primtecknet indikerar en vektortransponering och där $W_{0}$ är initial rikedom, x är en kolumnvektor av kvantiteter placerade i de n riskfyllda tillgångarna, r är en slumpmässig vektor av stokastisk avkastning på de n tillgångarna, k är en vektor av ettor (så $W_{0}-x'k$ är kvantiteten som placeras i den riskfria tillgången), och r _f är den kända skalära avkastningen på den riskfria tillgång. Antag vidare att den stokastiska vektorn r är gemensamt normalfördelad . Då kan förväntad nytta skrivas som

{\text{E}}[-e ^{-aW}]=-{\text{E}}[e^{-a[x'r+(W_{0}-x'k)\cdot r_{f}]}]=-e^{- a[(W_{0}-x'k)r_{f}]}{\text{E}}[e^{-a\cdot x'r}]=-e^{-a[(W_{0 }-x'k)r_{f}]}e^{-a\cdot x'\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}

där $\mu$ är medelvektorn för vektorn r och $\sigma ^{2}$ är variansen av slutlig rikedom. Att maximera detta motsvarar att minimera

e^{ar_{f}(x'k)-a\cdot x'\mu +{\frac { a^{2}}{2}}\sigma ^{2}},

vilket i sin tur motsvarar att maximera

x'(\mu -r_{f}\cdot k)-{\frac {a}{2}}\sigma ^{2}.

Genom att beteckna kovariansmatrisen för r som V , kan variansen $\sigma ^{2}$ för slutlig rikedom skrivas som $x'Vx$ . Därför vill vi maximera följande med avseende på valvektorn x av kvantiteter som ska placeras i de riskfyllda tillgångarna:

x'(\mu -r_{f}\cdot k)-{\frac {a}{2}}\cdot x'Vx.

Detta är ett enkelt problem i matriskalkyl , och dess lösning är

x^{*}={\frac {1}{a}}V^{-1}(\mu -r_{f}\cdot k).

₀ Av detta kan man se att (1) innehaven x * av de riskfyllda tillgångarna är opåverkade av initial förmögenhet W , en orealistisk egenskap, och (2) innehavet av varje riskfylld tillgång är mindre ju större är riskaversionsparametern a ( som intuitivt förväntas). Det här portföljexemplet visar de två nyckeldragen för exponentiell nytta: lätt att hantera under gemensam normalitet och brist på realism på grund av dess egenskap av konstant absolut riskaversion.

Se även