Nambooripad beställning
Inom matematiken är Nambooripad-ordningen (även kallad Nambooripads partiella ordning ) en viss naturlig delordning på en vanlig halvgrupp som upptäcktes av KSS Nambooripad i slutet av sjuttiotalet. Eftersom samma partiella ordning också upptäcktes oberoende av Robert E Hartwig, hänvisar vissa författare till den som Hartwig-Nambooripad-ordningen . "Naturlig" betyder här att ordningen definieras i termer av operationen på semigruppen.
I allmänhet är Nambooripads ordning i en vanlig semigrupp inte kompatibel med multiplikation. Den är kompatibel med multiplikation endast om halvgruppen är pseudo-invers (lokalt invers).
Föregångare
Nambooripads partiella ordning är en generalisering av en tidigare känd partiell ordning på uppsättningen av idempotenter i vilken semigrupp som helst . Den partiella ordningen på mängden E av idempotenter i en semigrupp S definieras enligt följande: För alla e och f i E , e ≤ f om och endast om e = ef = fe .
Vagner 1952 hade utvidgat detta till inversa semigrupper enligt följande: För alla a och b i en invers halvgrupp S , a ≤ b om och endast om a = eb för något idempotent e i S . I den symmetriska inversa halvgruppen sammanfaller denna ordning faktiskt med införandet av partiella transformationer som betraktas som mängder. Denna partiella ordning är kompatibel med multiplikation på båda sidor, det vill säga om a ≤ b så ac ≤ bc och ca ≤ cb för alla c i S .
Nambooripad utökade dessa definitioner till vanliga semigrupper.
Definitioner (vanlig semigrupp)
Den partiella ordningen i en vanlig semigrupp som upptäckts av Nambooripad kan definieras på flera likvärdiga sätt. Tre av dessa definitioner ges nedan. Likvärdigheten mellan dessa definitioner och andra definitioner har fastställts av Mitsch.
Definition (Nambooripad)
Låt S vara vilken vanlig halvgrupp som helst och S 1 vara den semigrupp som erhålls genom att angränsa identiteten 1 till S . För varje x i S låt R x vara den gröna R-klassen av S som innehåller x . Relationen R x ≤ R y definierad av xS 1 ⊆ yS 1 är en delordning i samlingen av gröna R-klasser i S . För a och b i S relationen ≤ definierad av
- a ≤ b om Ra och endast om Ra Rb ≤ och a = fb för idempotent någon f i
är en delordning i S . Detta är en naturlig delordning i S .
Definition (Hartwig)
För alla element a i en vanlig halvgrupp S , låt V ( a ) vara mängden inverser av a , det vill säga mängden av alla x i S så att axa = a och xax = x . För a och b i S relationen ≤ definierad av
- a ≤ b om och endast om a'a = a'b och aa' = ba' för något a' i V ( a )
är en delordning i S . Detta är en naturlig delordning i S .
Definition (Mitsch)
För a och b i en vanlig halvgrupp S är relationen ≤ definierad av
- a ≤ b om och endast om a = xa = xb = by för något element x och y i S
är en delordning i S . Detta är en naturlig delordning i S .
Utvidgning till godtyckliga semigrupper (PR Jones)
För a och b i en godtycklig semigrupp S , a ≤ Jb iff om det finns e , f idempotenter i S 1 så att a = be = fb .
Detta är en reflexiv relation på vilken semigrupp som helst, och om S är regelbunden sammanfaller den med Nambooripad-ordningen.
Naturlig partiell ordning av Mitsch
Mitsch generaliserade vidare definitionen av Nambooripad-ordning till godtyckliga semigrupper.
Den mest insiktsfulla formuleringen av Mitschs order är följande. Låt a och b vara två element i en godtycklig halvgrupp S . Då är a ≤ Mb iff det finns t och s i S 1 så att tb = ta = a = as = bs .
I allmänhet, för en godtycklig halvgrupp ≤ J är en delmängd av ≤ M . För epigrupper sammanfaller de dock. Dessutom om b är ett regelbundet element av S (som inte behöver vara helt regelbundet), då för vilket a i S a ≤ J b iff a ≤ M b.