Brandt semigrupp

I matematik är Brandt- semigrupper helt 0-enkla inversa semigrupper . De är med andra ord semigrupper utan ordentliga ideal och som också är omvända semigrupper. De är byggda på samma sätt som helt 0-enkla semigrupper:

Låt G vara en grupp och $I,J$ vara icke-tomma mängder. Definiera en matris $P$ av dimension $|I|\times |J|$ med poster i $G^{0}=G\cup \{0\}.$

Sedan kan det visas att varje 0-enkel halvgrupp har formen $S=(I\times G^{0}\times J)$ med operationen $(i,a,j)*(k,b,n)=(i,ap_{jk} b,n)$ .

Eftersom Brandt-semigrupper också är omvända semigrupper, är konstruktionen mer specialiserad och faktiskt I = J (Howie 1995). Således har en Brandt-halvgrupp formen $S=(I\times G^{0}\times I)$ med operationen $(i,a,j)*(k,b,n)=(i,ap_{jk}b,n)$ .

Dessutom är matrisen $P$ diagonal med endast identitetselementet e för gruppen G i dess diagonal.

Anmärkningar

1) Idempotenterna har formen ( i , e , i ) där e är identiteten för G .

2) Det finns likvärdiga sätt att definiera Brandt-halvgruppen. Här är en till:

ac = bc ≠ 0 eller ca = cb ≠ 0 ⇒ a = b

ab ≠ 0 och bc ≠ 0 ⇒ abc ≠ 0

Om a ≠ 0 finns det unika x , y , z för vilka xa = a , ay = a , za = y .

För alla idempotenta e och f icke noll, eSf ≠ 0

Se även

• Special classes of semigroups

• Howie, John M. (1995), Introduction to semigroup theory , Oxford: Oxford Science Publication .