Klassificering av elektromagnetiska fält

Inom differentialgeometri och teoretisk fysik är klassificeringen av elektromagnetiska fält en punktvis klassificering av bivektorer vid varje punkt av en Lorentziansk grenrör . Det används i studiet av lösningar av Maxwells ekvationer och har tillämpningar i Einsteins relativitetsteori .

Klassificeringssatsen

Det elektromagnetiska fältet vid en punkt p (dvs en händelse) i en Lorentzisk rumtid representeras av en reell bivektor F = F ^ab definierad över tangentrymden vid p .

Tangentutrymmet vid p är isometriskt som ett verkligt inre produktrum till E ^1,3 . Det vill säga, den har samma föreställning om vektorstorlek och vinkel som Minkowskis rumtid . För att förenkla notationen kommer vi att anta att rumtiden är Minkowskis rumtid. Detta tenderar att sudda ut skillnaden mellan tangentutrymmet vid p och det underliggande grenröret; lyckligtvis går ingenting förlorat med denna specialisering, av skäl som vi diskuterar i slutet av artikeln.

Klassificeringssatsen för elektromagnetiska fält karakteriserar bivektorn F i förhållande till den Lorentziska metriken η = η _ab genom att definiera och undersöka de så kallade "principiella nollriktningarna". Låt oss förklara detta.

Bivectorn F ^ab ger en skevsymmetrisk linjär operator F ^a _b = F ^ac η _cb definierad genom att sänka ett index med metriken. Den verkar på tangentrymden vid p by r ^a → F ^a _b r ^b . Vi kommer att använda symbolen F för att beteckna antingen bivector eller operatör, beroende på sammanhang.

Vi nämner en dikotomi hämtad från yttre algebra. En bivector som kan skrivas som F = v ∧ w , där v , w är linjärt oberoende, kallas enkel . Varje bivektor som inte är noll över ett 4-dimensionellt vektorrum är antingen enkel eller kan skrivas som F = v ∧ w + x ∧ y , där v , w , x och y är linjärt oberoende; de två fallen utesluter varandra. Uttryckt så här hänvisar dikotomien inte till metriska η , bara till yttre algebra. Men det är lätt att se att den associerade skev-symmetriska linjära operatorn Fa ^b har rang 2 i det förra fallet och rang 4 i det senare fallet _.

För att ange klassificeringssatsen betraktar vi egenvärdesproblemet för F , det vill säga problemet med att hitta egenvärden λ och egenvektorer r som uppfyller egenvärdesekvationen

$F^{a}{}_{b}r^{b}=\lambda \,r^{a}.$

Skevsymmetrin hos F innebär att:

• antingen är egenvektorn r en nollvektor (dvs η ( r , r ) = 0 ), eller så är egenvärdet λ noll, eller båda .

Ett 1-dimensionellt delrum som genereras av en nollegenvektor kallas en huvudsaklig nollriktning för bivectorn.

Klassificeringssatsen karakteriserar de möjliga principiella nollriktningarna för en bivector. Det står att något av följande måste gälla för alla bivectorer som inte är noll:

• bivectorn har en "upprepad" huvudsaklig nollriktning; i det här fallet sägs själva bivectorn vara noll ,
• bivectorn har två distinkta huvudsakliga nollriktningar; i detta fall kallas bivector non-null .

Dessutom, för alla bivektorer som inte är noll, har de två egenvärdena associerade med de två distinkta huvudsakliga nollriktningarna samma storlek men motsatt tecken, λ = ± ν , så vi har tre underklasser av bivektorer som inte är noll:

• mellanrumsliknande : ν = 0
• tidsliknande : ν ≠ 0 och rang F = 2
• icke-enkel : ν ≠ 0 och rang F = 4 ,

där rangen hänvisar till rangordningen för den linjära operatorn F .

Fysisk tolkning

Den algebraiska klassificeringen av bivektorer som ges ovan har en viktig tillämpning inom relativistisk fysik : det elektromagnetiska fältet representeras av ett snedsymmetriskt andrarangstensorfält (det elektromagnetiska fälttensorn ) så vi får omedelbart en algebraisk klassificering av elektromagnetiska fält.

I ett kartesiskt diagram på Minkowskis rumtid har den elektromagnetiska fälttensoren komponenter

${\ displaystyle F_{ab}=\left({\begin{matrix}0&B_{z}&-B_{y}&E_{x}/c\\-B_{z}&0&B_{x}&E_{y}/c\\ B_{y}&-B_{x}&0&E_{z}/c\\-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c&0\end{matrix}}\right)}$

där $E_{x},E_{y},E_{z}$ och $B_{x},B_{y},B_ {z}$ betecknar respektive komponenter i det elektriska och magnetiska fältet, mätt av en tröghetsobservatör (i vila i våra koordinater). Som vanligt inom relativistisk fysik kommer vi att finna det bekvämt att arbeta med geometriska enheter där $c=1$ . I den speciella relativitetsteoriens formalism " Indexgymnastik " används Minkowski-metriken ${\displaystyle \eta } för att höja och sänka index.$

Invarianter

De grundläggande invarianterna för det elektromagnetiska fältet är:

$P\equiv {\frac {1}{2 }}F_{ab}\,F^{ab}=\|{\vec {B}}\|^{2}-{\frac {\|{\vec {E}}\|^{2}} {c^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{}^{*}F_{ab}\,{}^{*}F^{ab}$

$Q\equiv {\frac {1}{4}}F_{ab}\,{} ^{*}F^{ab}={\frac {1}{8}}\epsilon ^{abcd}F_{ab}F_{cd}={\frac {{\vec {E}}\cdot {\ vec {B}}}{c}}$ .

(Fundamental betyder att varannan invariant kan uttryckas i termer av dessa två.)

Ett elektromagnetiskt nollfält kännetecknas av $P=Q=0$ . I detta fall avslöjar invarianterna att de elektriska och magnetiska fälten är vinkelräta och att de är av samma storlek (i geometriska enheter). Ett exempel på ett nollfält är en plan elektromagnetisk våg i Minkowskirymden .

Ett icke-nullfält kännetecknas av $P^{2}+Q^{2}\neq \,0$ . Om $P\neq 0=Q$ , finns det en tröghetsreferensram för vilken antingen det elektriska eller magnetiska fältet försvinner. (Dessa motsvarar magnetostatiska respektive elektrostatiska fält.) Om $Q\neq 0$ finns det en tröghetsram där elektriska och magnetiska fält är proportionella.

Böjda Lorentzianska grenrör

Hittills har vi bara diskuterat Minkowskis rumtid . Enligt den (starka) ekvivalensprincipen, om vi helt enkelt ersätter "tröghetsramen" ovan med ett ramfält , fungerar allt på exakt samma sätt på böjda grenrör.

Se även

• Teorem för elektromagnetisk peeling
• Elektrovakuumlösning
• Lorentz grupp
• Petrov klassificering

Anteckningar

•   Landau, Lev D.; Lifshitz, EM (1973). Den klassiska teorin om fält . New York: Pergamon. ISBN 0-08-025072-6 . Se avsnitt 25 .