Eilenberg-Zilbers sats

Inom matematik , särskilt i algebraisk topologi , är Eilenberg -Zilber-satsen ett viktigt resultat för att etablera kopplingen mellan homologigrupperna i ett produktrum $X\times Y$ och de i utrymmena $X$ och $Y$ . Teoremet dök först upp i en artikel från 1953 i American Journal of Mathematics av ​​Samuel Eilenberg och Joseph A. Zilber. En möjlig väg till ett bevis är den acykliska modellsatsen.

Uttalande av satsen

Satsen kan formuleras enligt följande. Antag att $X$ och $Y$ är topologiska rum , då har vi de tre kedjekomplexen $C_{*}(X)$ , $C_{*}(Y)$ , och $C_{*}(X\ gånger Y)$ . (Argumentet gäller lika för de enkla eller singulära kedjekomplexen.) Vi har också tensorproduktkomplexet C { $*}(X)\otillfällen C_{*}(Y )}$ , vars differential per definition är,

$\partial _{C_o*}(X) C_{*}(Y)}(\sigma \otimes \tau )=\partial _{X}\sigma \otimes \tau +(-1)^{p}\sigma \otimes \partial _{Y}\tau$

för $\sigma \in C_{p}(X)$ och ∂ $\displaystyle \partial _{X}}$ , $\partial _{Y}$ differentialer på $C_{*}(X)$ , $C_{*}(Y)$ .

Sedan säger satsen att vi har kedjekartor

$F\colon C_ {*}(X\gånger Y)\högerpil C_{*}(X)\otillfällen C_{*}(Y),\quad G\kolon C_{*}(X)\otillfällen C_{*}(Y)\ högerpil C_{*}(X\ gånger Y)$

så att $FG$ är identiteten och $GF$ är kedjehomotop till identiteten. Dessutom är kartorna naturliga i $X$ och $Y$ . Följaktligen måste de två komplexen ha samma homologi :

$H_{*}(C_{*}(X\ gånger Y))\cong H_{*}(C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)).$

Uttalande i termer av sammansatta kartor

Den ursprungliga satsen bevisades i termer av acykliska modeller men mer körsträcka fick man i en frasering av Eilenberg och Mac Lane med explicita kartor. Standardkartan $F$ som de producerar kallas traditionellt för Alexander–Whitney-kartan och $G$ Eilenberg –Zilber-kartan . Kartorna är naturliga i både $X$ och $Y$ och inversa upp till homotopi: man har

$FG=\mathrm {id} _{C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)},\qquad GF-\mathrm {id} _{C_{ *}(X\ gånger Y)}=\partiell _{C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)}H+H\partial _{C_{*}(X)\otimes C_{* }(Y)}$

för en homotopi $H$ naturlig i både $X$ och $Y$ så att var och en av ${\displaystyle HH} ,$ F $\displaystyle FH}$ och $HG$ är noll. Detta är vad som skulle komma att kallas en sammandragning eller en homotopi tillbakadragningsdatum .

Samprodukten

Diagonalkartan $\Delta \colon X\to X\times X$ inducerar en karta av cochain-komplex $C_{* }(X)\till C_{*}(X\ gånger X)$ som, följt av Alexander–Whitney ${\displaystyle F},$ ger en samprodukt ${\displaystyle C_{*}(X)\to C_{*}(X)\otimes C_{*}(X)} som inducerar standardsamprodukten på$ H $\displaystyle H_{*}(X) }$ . Med avseende på dessa biprodukter på $X$ och $Y$ , kartan

$H_{*}(X)\ibland H_{ *}(Y)\to H_{*}{\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )}\ {\overset {\sim }{\to }} \ H_{*}(X\ gånger Y)$ ,

även kallad Eilenberg–Zilber-kartan, blir en karta över differentialgraderade koalgebror. Den sammansatta ${\displaystyle C_{*}(X)\to C_{*}(X)\otimes C_{*}(X)} är$ själv inte en karta över coalgebras.

Uttalande i kohomologi

Alexander–Whitney och Eilenberg–Zilber-kartorna dualiseras (över valfritt val av kommutativ koefficient ring $k$ med enhet) till ett par kartor

$G^{*}\colon C^{*}(X\times Y)\rightarrow {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )} ^{*},\quad F^{*}\colon {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )}^{*}\högerpil C^{* }(X\ gånger Y)$

som också är homotopiekvivalenser, vilket framgår av dualerna i de föregående ekvationerna, med den dubbla homotopin $H^{*}$ . Samprodukten dualiseras inte direkt, eftersom dualisering inte fördelar sig över tensorprodukter av oändligt genererade moduler, men det finns en naturlig injektion av differentiellt graderade algebror $i\colon C^{*}(X)\otimes C^{*}(Y)\to {\big (}C_{*}(X)\otimes C_ {*}(Y){\big )}^{*}$ ges av $\alpha \otimes \beta \mapsto (\sigma \otimes \tau \mapsto \alpha (\sigma )\beta (\tau ))$ , produkten tas i koefficientringen $k$ . Denna $i$ inducerar en isomorfism i kohomologi, så man har sicksack av differentiell graderade algebrakartor

${ displaystyle C^{*}(X)\otimes C^{*}(X)\ {\overset {i}{\to }}\ {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*} (X){\big )}^{*}\ {\overset {G^{*}}{\leftarrow }}\ C^{*}(X\ gånger X){\overset {C^{*}( \Delta )}{\to }}C^{*}(X)}$

inducering av en produkt $\smile \colon H^{*}(X)\o gånger H^{*}(X)\till H ^{*}(X)$ i kohomologi, känd som koppprodukten , eftersom $H^{*}(i)$ och $H^{*}( G)$ är isomorfismer. Ersätter $G^{*}$ med $F^{*}$ så att alla kartor går åt samma håll, man får standardmuggprodukten på cochains, givet uttryckligen av

$\alpha \otimes \beta \mapsto {\Big (}\sigma \mapsto (\alpha \otimes \beta )(F^{*}\Delta ^{*}\sigma )=\summa _{p =0}^{\dim \sigma }\alpha (\sigma |_{\Delta ^{[0,p]}})\cdot \beta (\sigma |_{\Delta ^{[p,\dim \ sigma ]}}){\Big )}$ ,

som, eftersom utvärdering av samkedje $C^{p}(X)\ibland C_{q}(X)\to k$ försvinner om inte $p=q$ , reducerar till det mer välbekanta uttrycket.

Observera att om denna direktavbildning $C^{*}(X)\otimes C^{*}(X)\to C^{* }(X)$ av samkedjekomplex var i själva verket en karta över differentiellt graderade algebror, då skulle koppprodukten göra $C^{*}(X)$ till en kommutativ graderad algebra , vilket det inte är . Detta misslyckande hos Alexander–Whitney-kartan att vara en koalgebrakarta är ett exempel på otillgängligheten av kommutativa cochain-nivåmodeller för kohomologi över fält av icke-nollkarakteristika, och är därför på ett sätt ansvarig för mycket av subtiliteten och komplikationen i stabil homotopi-teori .

Generaliseringar

En viktig generalisering till det icke-abelska fallet med användning av korsade komplex ges i artikeln av Andrew Tonks nedan. Detta ger fullständiga detaljer om ett resultat på det (enkla) klassificeringsutrymmet för ett korsat komplex som anges men inte bevisats i tidningen av Ronald Brown och Philip J. Higgins om klassificering av utrymmen.

Konsekvenser

Eilenberg–Zilber-satsen är en nyckelingrediens i upprättandet av Künneth-satsen , som uttrycker homologigrupperna $H_{*}(X\ gånger Y)$ i termer av ${ \displaystyle H_{*}(X)}$ och $H_{*}(Y)$ . I ljuset av Eilenberg–Zilber-satsen består innehållet i Künneth-satsen i att analysera hur tensorproduktkomplexets homologi förhåller sig till faktorernas homologier.

Se även

• Acyklisk modell

•    Eilenberg, Samuel ; Zilber, Joseph A. (1953), "On Products of Complexes", American Journal of Mathematics , vol. 75, nr. 1, s. 200–204, doi : 10.2307/2372629 , JSTOR 2372629 , MR 0052767 .
•   Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1 .
•   Tonks, Andrew (2003), "On the Eilenberg-Zilber theorem for crossed complexes", Journal of Pure and Applied Algebra , vol. 179, nr. 1–2, s. 199–230, doi : 10.1016/S0022-4049(02)00160-3 , MR 1958384 .
•   Brown, Ronald ; Higgins, Philip J. (1991), "The classifying space of a crossed complex", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 110, s. 95–120, CiteSeerX 10.1.1.145.9813 , doi : 10.1017/S0305004100070158 .