Green–Tao-satsen

I talteorin säger Green –Tao-satsen , bevisad av Ben Green och Terence Tao 2004, att sekvensen av primtal innehåller godtyckligt långa aritmetiska progressioner . Med andra ord, för varje naturligt tal k , finns det aritmetiska progressioner av primtal med k termer. Beviset är en förlängning av Szemerédis sats . Problemet kan spåras tillbaka till undersökningar av Lagrange och Waring från omkring 1770.

Påstående

Låt $\pi (N)$ beteckna antalet primtal mindre än eller lika med $N$ . Om $A$ är en delmängd av primtalen så att

\limsup _{N\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap [1,N]|}{\pi (N)}}>0,

sedan för alla positiva heltal ${\displaystyle k} innehåller$ mängden $A$ oändligt många aritmetiska progressioner med längden $k$ . I synnerhet innehåller hela uppsättningen av primtal godtyckligt långa aritmetiska progressioner.

I sitt senare arbete med den generaliserade Hardy-Littlewood-förmodan, uttalade och villkorligt bevisade Green och Tao den asymptotiska formeln

({\mathfrak {S}}_{k}+o(1)){\frac {N^{2}}{( \log N)^{k}}}

för antalet k tuplar av primtal $p_{1}<p_{2}<\dotsb <p_{k}\leq N$ i aritmetisk progression. Här ${\mathfrak {S}}_{k}$ konstanten

{\mathfrak {S}}_{k}:={\frac {1}{2(k-1)}}\left(\prod _{p\leq k}{\frac {1}{ p}}\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{\!k-1}\right)\!\left(\prod _{p>k}\left(1- {\frac {k-1}{p}}\right)\!\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{\!k-1}\right)\!.

Resultatet gjordes ovillkorligt av Green–Tao och Green–Tao–Ziegler.

Översikt över beviset

Green och Taos bevis har tre huvudkomponenter:

Szemerédis sats , som hävdar att delmängder av heltal med positiv övre densitet har godtyckligt långa aritmetiska progressioner. Det gäller inte a priori för primtalen eftersom primtalen har densitet noll i heltalen.
En överföringsprincip som utvidgar Szemerédis sats till delmängder av heltal som är pseudoslumpmässiga i lämplig mening. Ett sådant resultat kallas nu en relativ Szemerédi-sats.
En pseudoslumpmässig delmängd av heltal som innehåller primtal som en tät delmängd. För att konstruera denna uppsättning använde Green och Tao idéer från Goldston, Pintz och Yıldırıms arbete med prime gaps . När uppsättningens pseudoslumpmässighet har fastställts kan överföringsprincipen tillämpas, vilket kompletterar beviset.

Många förenklingar av argumentet i den ursprungliga artikeln har hittats. Conlon, Fox & Zhao (2014) ger en modern presentation av beviset.

Numeriskt arbete

Beviset för Green–Tao-satsen visar inte hur man hittar de aritmetiska progressionerna för primtal; det bevisar bara att de finns . Det har gjorts separat beräkningsarbete för att hitta stora aritmetiska progressioner i primtal.

Green–Tao-tidningen säger 'När detta skrivs är den längsta kända aritmetiska progressionen av primtal av längd 23 och hittades 2004 av Markus Frind, Paul Underwood och Paul Jobling: 56211383760397 + 44546738095860 · k ; k = 0, 1, . . ., 22.'.

Den 18 januari 2007 hittade Jarosław Wróblewski det första kända fallet med 24 primtal i aritmetisk progression :

468 395 662 504 823 + 205 619 · 223 092 870 · n , för n = 0 till 23.

Konstanten 223 092 870 här är produkten av primtalen upp till 23, mer kompakt skrivet 23# i urnotation .

Den 17 maj 2008 hittade Wróblewski och Raanan Chermoni det första kända fallet med 25 primtal:

6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 23# · n , för n = 0 till 24.

hittade Benoît Perichon med programvara av Wróblewski och Geoff Reynolds i ett distribuerat PrimeGrid- projekt det första kända fallet med 26 primtal (sekvens A204189 i OEIS ):

43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 23# · n , för n = 0 till 25.

I september 2019 hittade Rob Gahan och PrimeGrid det första kända fallet med 27 primtal (sekvens A327760 i OEIS ):

224 584 605 939 537 911 + 81 292 139 · 23# · n , för n = 0 till 26.

Utvidgningar och generaliseringar

Många av förlängningarna av Szemerédis sats gäller även för primtal.

Oberoende härledde Tao och Ziegler och Cook, Magyar och Titichetrakun en multidimensionell generalisering av Green-Tao-satsen. Tao-Ziegler-beviset förenklades också av Fox och Zhao.

2006 utökade Tao och Ziegler Green-Tao-satsen till att täcka polynomprogressioner. Närmare bestämt, givet alla heltalsvärdiga polynom P ₁ , ..., P _k i en okänd m alla med konstant term 0, finns det oändligt många heltal x , m så att x + P ₁ ( m ), ..., x + Pk ( m ) är samtidigt primtal _. Det speciella fallet när polynomen är m , 2 m , ..., km innebär det tidigare resultatet att det finns längd k aritmetiska progressioner av primtal.

Tao bevisade en analog till Green-Tao-satsen för Gaussiska primtal .

Se även

Vidare läsning

Conlon, David ; Fox, Jacob ; Zhao, Yufei (2014). "Grön-Tao-satsen: en utläggning". EMS-undersökningar i matematiska vetenskaper . 1 (2): 249–282. arXiv : 1403.2957 . doi : 10.4171/EMSS/6 . MR 3285854 . S2CID 119301206 .
Gowers, Timothy (2010). "Sönderdelning, ungefärlig struktur, överföring och Hahn-Banach-satsen". Bulletin från London Mathematical Society . 42 (4): 573–606. arXiv : 0811.3103 . doi : 10.1112/blms/bdq018 . MR 2669681 . S2CID 17216784 .
Green, Ben (2007). "Långa aritmetiska progressioner av primtal". I Duke, William; Tschinkel, Yuri (red.). Analytisk talteori . Clay Mathematics Proceeding. Vol. 7. Providence, RI: American Mathematical Society . s. 149–167. ISBN 978-0-8218-4307-9 . MR 2362199 .
Värd, Bernard (2006). "Progressions arithmétiques dans les nombres premiers (d'après B. Green et T. Tao)" [Aritmetiska progressioner i primtal (efter B. Green och T. Tao)] (PDF) . Astérisque (på franska) (307): 229–246. arXiv : math/0609795 . Bibcode : 2006math......9795H . MR 2296420 .
Kra, Bryna (2006). "Grön-Tao-satsen om aritmetiska progressioner i primtal: en ergodisk synvinkel" . Bulletin från American Mathematical Society . 43 (1): 3–23. doi : 10.1090/S0273-0979-05-01086-4 . MR 2188173 .
Tao, Terence (2006). "Aritmetiska progressioner och primtal" . Collectanea Mathematica . Extra: 37–88. MR 2264205 . Arkiverad från originalet 2015-08-05 . Hämtad 2015-06-05 .
Tao, Terence (2006). "Hinder för enhetlighet och aritmetiska mönster i primtal". Kvartalsbok för ren och tillämpad matematik . 2 (2): 395–433. arXiv : math/0505402 . doi : 10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a2 . MR 2251475 . S2CID 6939076 .
Tao, Terence (2008-01-07). "AMS-föreläsning: Struktur och slumpmässighet i primtalen" .