Descartes på Polyhedra
Descartes på Polyhedra: En studie av "De solidorum elementis" är en bok i matematikens historia , om arbetet av René Descartes på polyedrar . Centralt i boken är den omtvistade prioriteringen för Eulers polyedriska formel mellan Leonhard Euler , som publicerade en explicit version av formeln, och Descartes, vars De solidorum elementis inkluderar ett resultat från vilket formeln lätt kan härledas.
Descartes on Polyhedra skrevs av Pasquale Joseph Federico (1902–1982), och publicerades postumt av Springer-Verlag 1982, med hjälp av Federicos änka Bianca M. Federico, som volym 4 av deras bokserie Sources in the History of Mathematics and Fysiska vetenskaper. The Basic Library List Committee of Mathematical Association of America har föreslagit att det ska ingå i matematikbibliotek för grundutbildning.
Ämnen
Det latinska originalmanuskriptet av De solidorum elementis skrevs cirka 1630 av Descartes; recensenten Marjorie Senechal kallar det "den första allmänna behandlingen av polyedrar", Descartes enda verk inom detta område, och ofullbordat, med sina uttalanden oordnade och vissa felaktiga. Den dök upp i Stockholm i Descartes gods efter hans död 1650, låg i blöt i tre dagar i Seine när skeppet som fraktade den tillbaka till Paris havererade och överlevde tillräckligt länge för att Gottfried Wilhelm Leibniz skulle kopiera den 1676 innan den försvann för Bra. Leibniz kopia, också den förlorade, återupptäcktes i Hannover omkring 1860. Den första delen av Descartes om Polyhedra berättar om denna historia, skisserar Descartes biografi, tillhandahåller en elvasidig faksimilreproduktion av Leibniz kopia och ger en transkription, engelsk översättning och kommentarer till denna text, inklusive förklaringar av en del av dess notation.
I De solidorum elementis anger Descartes (utan bevis) Descartes sats om total vinkeldefekt , en diskret version av Gauss–Bonnet-satsen enligt vilken vinkeldefekterna i hörnen på en konvex polyeder (den mängd med vilken vinklarna vid den vertex faller under vinkeln som omger valfri punkt på ett platt plan) summerar alltid till exakt . Descartes använde detta teorem för att bevisa att de fem platoniska fasta kropparna är de enda möjliga reguljära polyedrarna. Det är också möjligt att härleda Eulers formel som relaterar antalet hörn, kanter och ytor på en konvex polyeder från Descartes sats, och De solidorum elementis också innehåller en formel som mer liknar Eulers som relaterar till antalet hörn, ytor och plana vinklar för en polyeder. Sedan återupptäckten av Descartes manuskript har många forskare hävdat att äran för Eulers formel borde gå till Descartes snarare än till Leonhard Euler , som publicerade formeln (med ett felaktigt bevis) 1752. Den andra delen av Descartes om Polyhedra granskar detta debattera och jämför Descartes och Eulers resonemang om dessa ämnen. I slutändan drar boken slutsatsen att Descartes förmodligen inte upptäckte Eulers formel, och recensenterna Senechal och HSM Coxeter är överens och skriver att Descartes inte hade ett koncept för kanterna på en polyeder, och utan det hade han inte kunnat formulera själva Eulers formel. Därefter upptäcktes det till detta arbete att Francesco Maurolico hade tillhandahållit en mer direkt och mycket tidigare föregångare till Eulers verk, en observation 1537 (utan bevis för dess mer allmänna tillämplighet) att Eulers formel i sig gäller för de fem platoniska fasta ämnen.
Den andra delen av Descartes bok, och den tredje delen av Descartes om polyedrar , förbinder teorin om polyedrar till talteori . Det handlar om figurantal som definierats av Descartes från polyedrar, vilket generaliserar de klassiska grekiska definitionerna av figurattal som kvadrattal och triangulära tal från tvådimensionella polygoner . I denna del använder Descartes både de platonska fasta kropparna och några av de halvregelbundna polyedrarna , men inte de snubbade polyedrarna .
Publik och mottagning
Granskaren FA Sherk, efter att ha noterat den uppenbara relevansen av Descartes på Polyhedra för matematikhistoriker, rekommenderar det också till geometrar och amatörmatematiker. Han skriver att den ger en bra introduktion till några viktiga ämnen i polyedrarnas matematik, gör en intressant koppling till talteorin och är lättläst utan mycket bakgrundskunskap. Marjorie Senechal påpekar att, utöver frågan om prioritet mellan Descartes och Euler, är boken också användbar för att belysa det som var känt om geometrin mer allmänt vid Descartes tid. Mer kortfattat kallar recensenten L. Führer boken vacker, läsvärd och livlig, men dyr.