Clark-Ocone-satsen

I matematik är Clark -Ocone-satsen (även känd som Clark-Ocone-Haussmann-satsen eller formeln ) en sats av stokastisk analys . Det uttrycker värdet av någon funktion F definierad på det klassiska Wienerrummet av kontinuerliga banor som börjar vid origo som summan av dess medelvärde och en Itô-integral med avseende på den vägen. Den är uppkallad efter bidrag från matematikerna JMC Clark (1970), Daniel Ocone (1984) och UG Haussmann (1978).

Uttalande av satsen

₀₀₀₀₀ Låt C ([0, T ]; R ) (eller helt enkelt C för kort) vara klassisk wienerrymd med wienermått γ . Låt F : C → R vara en BC ¹ -funktion, dvs F är begränsad och Fréchet differentierbar med begränsad derivata D F : C → Lin( C ; R ). Sedan

$F(\sigma )=\int _{C_{0}}F(p)\,\mathrm {d} \gamma (p)+\int _{0}^{T}\mathbf {E} \left[\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla _{H}F(-)\right|\Sigma _{t}\right](\sigma )\,\mathrm { d} \sigma _{t}.$

I ovanstående

• F ( σ ) är värdet av funktionen F på någon specifik väg av intresse, σ ;
• den första integralen,

$\int _{C_{0}}F(p)\,\mathrm {d} \gamma (p)=\mathbf {E} [F]$

₀ är det förväntade värdet av F över hela Wienerrymden C ;

• den andra integralen,

$\int _{0}^{T}\cdots \,\mathrm {d} \sigma (t)$

är en Itô-integral ;

• Σ _∗ är den naturliga filtreringen av Brownsk rörelse B : [0, T ] × Ω → R : Σ _t är den minsta σ -algebra som innehåller alla B _s ⁻¹ ( A ) för tiderna 0 ≤ s ≤ t och Borel set A ⊆ R ;
• E [·|Σ _t ] betecknar villkorlig förväntan med avseende på sigmaalgebra Σ _t ;
• ^∂ / _{∂ t} betecknar differentiering med avseende på tid t ; ∇ _H betecknar H -gradienten ; därför är ^∂ / _{∂ t} ∇ _H Malliavinderivatet .

₀ Mer allmänt gäller slutsatsen för varje F i L ² ( C ; R ) som är differentierbar i betydelsen Malliavin.

Integration av delar på Wiener space

Clark–Ocone-satsen ger upphov till en integreringsformel på det klassiska wienerrummet, och att skriva Itô-integraler som divergenser :

₀₀₀₀ Låt B vara en standard Brownsk rörelse, och låt L ^2,1 vara Cameron-Martin-utrymmet för C (se abstrakt Wienerrymd . Låt V : C → L ^2,1 vara ett vektorfält så att

${\dot {V}}={\frac {\partial V}{\partial t}}:[0,T]\ gånger C_ {0}\to \mathbb {R}$

₀ är i L ² ( B ) (dvs. är Itô integrerbar , och är därför en anpassad process ). Låt F : C → R vara BC ¹ enligt ovan. Sedan

$\int _ {C_{0}}\mathrm {D} F(\sigma )(V(\sigma ))\,\mathrm {d} \gamma (\sigma )=\int _{C_{0}}F(\sigma )\left(\int _{0}^{T}{\dot {V}}_{t}(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma _{t}\right)\,\mathrm { d} \gamma (\sigma ),$

dvs

${\display style \int _{C_{0}}\left\langle \nabla _{H}F(\sigma ),V(\sigma )\right\rangle _{L_{0}^{2,1}}\,\mathrm { d} \gamma (\sigma )=-\int _{C_{0}}F(\sigma )\operatörsnamn {div} (V)(\sigma )\,\mathrm {d} \gamma (\sigma )}$

₀ eller, skriv integralerna över C som förväntningar:

$\mathbb {E} {\big [}\langle \nabla _{H}F,V\rangle {\big ] }=-\mathbb {E} {\big [}F\operatörsnamn {div} V{\big ]},$

₀ där "divergensen" div( V ) : C → R definieras av

$\operatorname {div} (V)(\sigma ):=-\int _{0}^{T}{\dot {V}}_{t}(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma _{t}.$

Tolkningen av stokastiska integraler som divergenser leder till begrepp som Skorokhod-integralen och verktygen i Malliavin-kalkylen .

Se även

• Integral representationssats för klassisk Wienerrymd, som använder Clark-Ocone-satsen i sitt bevis
• Integration av reservdelsoperatör
• Malliavin kalkyl

•   Nualart, David (2006). Malliavinkalkylen och relaterade ämnen . Probability and its Applications (New York) (andra upplagan). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-28328-7 .

externa länkar

• Friz, Peter K. (2005-04-10). "En introduktion till Malliavin Calculus" (PDF) . Arkiverad från originalet (PDF) 2007-04-17 . Hämtad 2007-07-23 .