H-derivat

Inom matematiken är H abstrakta -derivatan ett begrepp om derivata i studiet av wienerrum och Malliavinkalkylen .

Definition

Låt $i:H\to E$ vara ett abstrakt wienerrum, och anta att $F:E\to \mathbb {R}$ är differentierbar . Då Fréchet-derivatan en karta

$\mathrm {D} F:E\to \mathrm {Lin} (E;\mathbb {R} )$ ;

dvs för $x\in E$ , $\mathrm {D} F(x)$ är ett element av $E^{*}$ , dubbelt mellanslag till $E$ .

Definiera därför $H$ -derivatan $\mathrm {D} _{H}F$ vid $x\in E$ med

$\mathrm {D} _{H}F(x):=\mathrm {D} F(x)\circ i: H\to \mathbb {R}$ ,

en kontinuerlig linjär karta på $H$ .

Definiera $H$ -gradienten $\nabla _{H}F:E\to H$ med

$\langle \nabla _{H}F(x),h\rangle _{H}=\left(\mathrm {D} _{H}F\right)(x)(h)=\lim _{t\to 0}{ \frac {F(x+ti(h))-F(x)}{t}}$ .

Det vill säga, om $j:E^{*}\to H$ anger adjointen av i $\displaystyle i:H\to E}$ , har vi $\nabla _{H}F(x):=j\left(\mathrm {D} F(x)\right)$ .

Se även

• Malliavinderivat