Chevalleys struktursats
I algebraisk geometri säger Chevalleys struktursats att en slät ansluten algebraisk grupp över en perfekt fält har en unik normal slät ansluten affin algebraisk undergrupp så att kvoten är en abelsk variation . Det bevisades av Chevalley (1960) (även om han tidigare hade meddelat resultatet 1953), Barsotti ( 1955a , 1955b ) och Rosenlicht (1956) .
Chevalleys ursprungliga bevis, och de andra tidiga bevisen av Barsotti och Rosenlicht, använde idén om att kartlägga den algebraiska gruppen till dess albanska variant . De ursprungliga bevisen var baserade på Weils bok Foundations of algebraic geometry och är svåra att följa för alla som inte känner till Weils grunder, men Conrad (2002) gav senare en beskrivning av Chevalleys bevis i schemateoretisk terminologi.
Över icke-perfekta fält finns det fortfarande en minsta normalkopplad linjär undergrupp så att kvoten är en abelsk variant, men den linjära undergruppen behöver inte vara jämn.
En konsekvens av Chevalleys teorem är att vilken algebraisk grupp som helst över ett fält är kvasiprojektiv.
Exempel
Det finns flera naturliga konstruktioner som ger sammanhängande algebraiska grupper som varken är affina eller fullständiga.
- 0 Om C är en kurva med en effektiv divisor m , så har den en associerad generaliserad Jacobian J m . Detta är en kommutativ algebraisk grupp som mappas till den jakobianska varianten J av C med affin kärna. Så J är en förlängning av en abelsk variant med en affin algebraisk grupp. I allmänhet delas inte denna förlängning.
- Den reducerade sammankopplade komponenten i det relativa Picard-schemat av ett korrekt schema över ett perfekt fält är en algebraisk grupp, som i allmänhet varken är affin eller korrekt.
- Den anslutna komponenten i den slutna fibern i en Neron-modell över en diskret värderingsring är en algebraisk grupp, som i allmänhet varken är affin eller korrekt.
- För analytiska grupper misslyckas några av de uppenbara analogerna till Chevalleys teorem. Till exempel har produkten av additivgruppen C och valfri elliptisk kurva en tät samling slutna (analytiska men inte algebraiska) undergrupper som är isomorfa till C , så det finns ingen unik "maximal affin undergrupp", medan produkten av två kopior av multiplikativen grupp C* är isomorf (analytiskt men inte algebraiskt) till en icke-delad förlängning av en given elliptisk kurva med C .
Ansökningar
Chevalleys struktursats används i beviset för Néron–Ogg–Shafarevich-kriteriet .
- Barsotti, Iacopo (1955a), "Structure theorems for group-varieties", Annali di Matematica Pura ed Applicata , Series 4, 38 : 77–119, doi : 10.1007/bf02413515 , ISSN 42003 ,-8MR 42007 , -8MR 42003 , -8
- Barsotti, Iacopo (1955b), "Un teorema di struttura per le varietà gruppali", Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Rendiconti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 18 : 43–50, MR 0076427
- Chevalley, C. (1960), "Une demonstration d'un théorème sur les groupes algébriques", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 39 : 307–317, ISSN 0021-7824 , MR 4 712644
- Conrad, Brian (2002), "A modern proof of Chevalley's theorem on algebraic groups" (PDF) , Journal of the Ramanujan Mathematical Society , 17 (1): 1–18, ISSN 0970-1249 , MR 1906417
- Rosenlicht, Maxwell (1956), "Some basic theorems on algebraic groups", American Journal of Mathematics , 78 : 401–443, doi : 10.2307/2372523 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372523 , 1 MR 3008 , 1