Generaliserad Jacobian
I algebraisk geometri är en generaliserad jakobian en kommutativ algebraisk grupp som är associerad med en kurva med en divisor, vilket generaliserar den jakobianska varianten av en komplett kurva. De introducerades av Maxwell Rosenlicht ( 1954 ), och kan användas för att studera förgrenade beläggningar av en kurva, med abelian Galois group . Generaliserade Jacobians av en kurva är förlängningar av Jacobian av kurvan med en kommutativ affin algebraisk grupp, vilket ger icke-triviala exempel på Chevalleys struktursats .
Definition
Antag att C är en fullständig icke-singular kurva, m en effektiv divisor på C , S är stödet för m , och P är en fast baspunkt på C inte i S . Den generaliserade Jacobian Jm är en kommutativ algebraisk grupp med en rationell karta f från C till Jm så att :
- f tar P till identiteten för J m .
- f är regelbundet utanför S .
- f ( D ) = 0 när D är divisor för en rationell funktion g på C så att g ≡1 mod m .
Dessutom är Jm den universella gruppen med dessa egenskaper, i den meningen att varje rationell karta från C till en grupp med egenskaperna ovan faktorer unikt genom Jm . Gruppen Jm beror inte på valet av baspunkt P , även om förändring av P ändrar kartan f genom en översättning.
Strukturen hos den generaliserade Jacobian
För m =0 är den generaliserade jakobiska J m bara den vanliga jakobiska J , en abelsk variant av dimensionen g , släktet C.
För m en effektiv divisor som inte är noll är den generaliserade Jacobian en förlängning av J med en sammankopplad kommutativ affin algebraisk grupp L m av dimensionen deg( m )−1. Så vi har en exakt sekvens
- 0 → L m → J m → J → 0
Gruppen L m är en kvot
- 0 → G m → Π U P i ( n i ) → L m → 0
av en produkt av grupperna Ri med den multiplikativa gruppen Gm i det underliggande fältet . Produkten löper över punkterna Pi i stödet av m , och gruppen U P i ( n i ) är gruppen av inverterbara element i den lokala ringmodulen de som är 1 mod P i n i . Gruppen U P i ( n i ) har dimensionen n i , antalet gånger P i förekommer i m . Det är produkten av den multiplikativa gruppen G m av en unipotent grupp med dimensionen n i −1, som i karakteristiken 0 är isomorf till en produkt av n i −1 additiva grupper.
Komplexa generaliserade jakobier
Över de komplexa talen bestämmer den algebraiska strukturen för den generaliserade Jacobian en analytisk struktur för den generaliserade Jacobian, vilket gör den till en komplex Lie-grupp .
Den analytiska undergruppen som ligger bakom den generaliserade Jacobian kan beskrivas enligt följande. (Detta bestämmer inte alltid den algebraiska strukturen eftersom två icke-isomorfa kommutativa algebraiska grupper kan vara isomorfa som analytiska grupper.) Antag att C är en kurva med en effektiv divisor m med stöd S . Det finns en naturlig karta från homologigruppen H 1 ( C − S ) till den dubbla Ω(− m )* av det komplexa vektorrummet Ω(− m ) (1-former med poler på m ) inducerad av integralen av en 1-form över en 1-cykel. Den analytiska generaliserade Jacobian är då kvotgruppen Ω(− m )*/ H 1 ( C − S ).
- Rosenlicht, Maxwell (1954), "Generaliserade jakobianska varianter.", Ann. av matte. , 2, 59 (3): 505–530, doi : 10.2307/1969715 , JSTOR 1969715 , MR 0061422
- Serre, Jean-Pierre (1988) [1959], Algebraiska grupper och klassfält. , Graduate Texts in Mathematics, vol. 117, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96648-X , MR 0103191