Besläktad koppling

Presentation av nio olika kopplingar med kopplingskurva. Övre raden: Fyrstaviga kopplingar . Mellersta raden: Geared fem-bar besläktade länkage , härledd från översta raden. Nedre raden: Närbesläktade sextaktiga besläktade länkar, härledda från mittraden.

Inom kinematik är besläktade länkar länkar som säkerställer samma kopplarkurvgeometri eller input-output-förhållande, samtidigt som de är dimensionellt olika . I fallet med kopplingskopplingar med fyra barer , säger Roberts–Chebyshev-teorem , efter Samuel Roberts och Pafnuty Chebyshev , att varje kopplingskurva kan genereras av tre olika fyrstavslänkar. Dessa fyrstavslänkningar kan konstrueras med hjälp av liknande trianglar och parallellogram, och Cayley-diagrammet (uppkallat efter Arthur Cayley ).

Överstängda mekanismer kan erhållas genom att koppla samman två eller flera besläktade länkar.

Roberts–Chebyshevs sats

Satsen anger att det för en given kopplingskurva som produceras av ett fyrstavslänksystem med fyra vridbara (gångjärns) leder finns tre fyrstångslänkar, tre växlade femstångslänkar och fler sexstångslänkar som kommer att generera samma väg.

För en kopplingskurva som produceras av ett fyrstångslänkage med fyra roterande leder och en prismatisk (slider) koppling, finns det bara två fyrstångslänkar, eftersom den tredje skulle bestå av två skjutreglage, vilket gör den till en fyrstångslänkning med två frihetsgrader.

Konstruktion av fyrstångskopplingar

Cayley diagram

Cayley-diagram för generering av 4-stavs kopplingsbehörighet.

Animation som visar konstruktionen av två fyrtakts besläktade länkar från ett första fyrtakts besläktat.

Från den ursprungliga triangeln, Δ A ₁ DB ₁ :

1. Skissa Cayley-diagrammet.
2. Använd parallellogram, hitta A ₂ och B ₃ ▱O _A A ₁ DA ₂ och ▱O _B B ₁ DB ₃ .
3. Använd liknande trianglar och hitta C ₂ och C ₃ Δ A ₂ C ₂ D och Δ DC ₃ B ₃ .
4. Använd ett parallellogram för att hitta O _C ▱O _C C ₂ DC ₃ .
5. Kontrollera liknande trianglar ΔO _A O _C O _B .
6. Separera vänster och höger besläktade.
7. Sätt mått på Cayley-diagrammet.

Dimensionella relationer

Länkdimensioner.

Längden på de fyra medlemmarna kan hittas med hjälp av sinuslagen . Både K _L och K _R återfinns enligt följande.

$K_{L}={\frac {\sin(\alpha )}{\sin(\ beta )}}\qquad K_{R}={\frac {\sin(\gamma )}{\sin(\beta)}}$

Länkning	Jord	Vev 1	Vev 2	Kopplare
Original	R 1	R 2	R 3	R 4
Vänster besläktad	K L R 1	K L R 3	K L R 4	K L R 2
Rätt besläktad	K R R 1	K R R 2	K R R 3	K R R 4

Slutsatser

• Om och endast om originalet är en klass I- kedja $(\ell +s)<(p+q)$ Båda 4-takts-kedjorna kommer att vara klass I-kedjor.
• Om originalet är en draglänk ( dubbel vev ), kommer båda besläktadena att vara draglänkar.
• Om originalet är en vev-rocker , kommer en besläktad att vara en vev-rocker, och den andra kommer att vara en dubbel-rocker.
• Om originalet är en dubbelrockare, kommer kognaterna att vara vevrockare.

Konstruktion av växlade femstaviga kognater

Animation som visar konstruktionen av en växlad femtakts besläktad länk från en första fyrtakts besläktad.

En femstavslänkning har två frihetsgrader, och det finns alltså inte en femstavskoppling som kan fungera som en besläktad. Det är dock möjligt att generera ett 5-bars besläktat med hjälp av kugghjul.

1. Välj valfritt fyrstavslänkage.
2. Konstruera två parallellogram från mittkopplingslänken och länkarna anslutna till marken.
3. På varje parallellogram, hitta sidorna mittemot anslutningslänken. Applicera en 1:1 kuggväxel mellan dem.
4. Separata kognater.

Användningen av 1:1-växeln används på grund av parallellogramlänkarnas beteende. Motsatta 'sidor' av parallellogramlänkarna delar samma rotationsrörelsefunktion. Eftersom båda parallellogrammen konstruerades av mittkopplingslänken delar de nya länkarna som är anslutna till marken identiska rotationsrörelsefunktioner, vilket gör det möjligt att använda en 1:1 växellåda för att koppla ihop dem.

Konstruktion av sexstavs kopplingsbeståndsdelar

Animation som visar konstruktionen av en sex-takts besläktad koppling från en första fyrtakts-kognat.

Animation som visar konstruktionen av Chebyshevs bordslänkning med hjälp av de två besläktade kopplingarna Chebyshev länkage och Chebyshev lambda linkage . Den rosa länken indikerar den tidigare marklänken som har blivit en rätlinjig länk.

Alternativ till växlade femtaktare

Den växlade femstångslänken använder en 1:1 växellåda för att säkerställa att två länkar har samma rotationsrörelsefunktion. Ett alternativ till att använda ett kugghjul för att uppnå 1:1-rotation är dock att koppla ihop dem med hjälp av en parallellogramlänk och lägga till ytterligare en länk.

Para ihop tidigare härledda kognater

Ett viktigt beteende med fyrstavslänkar är att när positionerna för två länkar är definierade kan de andra två länkarna i fyrstavslänkningen definieras.

En egenskap med besläktade länkar är att de ofta delar minst två länkar i identisk konfiguration. Dessa länkar är vanligtvis orienterade 180 grader från varandra, så vid parning kan dessa länkar smältas samman. Detta skapar en 4-stavslänkning med ytterligare två länkar, som båda definieras av den ursprungliga fyrstavslänkningen. Den tidigare jordlänken hos det sammansmältande 4-stavslänkverket blir en rätlinjig länk som färdas efter samma kopplingskurva.

Var och en av dessa parade sexstavs besläktade länkar kan också omvandlas till en annan besläktad länk genom att vända på länken och byta roller för den rätlinjiga länken och jordlänken.

Konstruktion av kopplare med fler länkar

Länkarna behöver inte nödvändigtvis överlappa metoden för sexstapelsparningarna, utan behöver bara uppfylla kriteriet så att:

• Det finns ett par med två länkar i identisk konfiguration.
• Den tidigare jordlänken hos en av länkarna är direkt fäst vid den punkt som producerar kopplingskurvan.

Istället för att överlappa de parade länkarna kan de fästas på ett sätt som bildar ett parallellogram, vilket resulterar i besläktade länkar med åtta takter. Triplett besläktade kopplingar och ytterligare förlängningar är också möjliga, vilket gör att antalet länkar av besläktade kopplingar kan öka teoretiskt på obestämd tid.

Funktionsbesläktade

Animation som visar konstruktionen av en funktionsbesläktad.

Funktionsbesläktade länkar är länkar som delar samma rörelsefunktioner för sina in- och utlänkar. Detta utförs med ett sexbars Watt II-länksystem.

1. Dela sexstapelänken i två fyrhörningar (visas som $\square X_{1}ABC$ och $\square X_{2}CDE$ ).
2. Översätt jordfogen $C$ till en ny plats, $C'$ .
3. Med den nya markleden $C'$ , bilda två liknande fyrhörningar (visas som $\square X_{1}A'B'C'$ och $\square X_{2}C'D'E'$ ).
4. Omforma den delade länken $C'B'D'$ .
5. Separata kognater.

Liknande fyrhörningar kommer att ha länkar som delar samma rörelsefunktion. Eftersom en länk är delad mellan de två fyrhörningarna, kommer båda fortfarande att dela en länk med samma rörelsefunktion så länge de nya fyrhörningarna liknar originalet.

Om de nya fyrhörningarna inte delar samma jordfog (som visas med led C'), kan de fortfarande kopplas samman med hjälp av en parallellogramlänkning, vilket bildar en 8-bar funktionsbesläktad.

Se även

• Arthur Cayley - Cayley Diagram
• Fyrstavs länkage
• Kinematiskt par
• Länkage (mekanisk)
• Pafnuty Chebyshev - Roberts–Chebyshevs sats
• Samuel Roberts - Roberts–Chebyshevs sats

Anteckningar

•   Uicker, John J.; Pennock, Gordon R.; Shigley, Joseph E. (2003). Teori om maskiner och mekanismer . Oxford University Press. ISBN 0-19-515598-X .
• Samuel Roberts (1875) "On Three-bar Motion in Plane Space", Proceedings of the London Mathematical Society, vol 7.
• Hartenberg, RS & J. Denavit (1964) Kinematic synthesis of linkages , sid 169, New York: McGraw-Hill, webblänk från Cornell University .

externa länkar

• Fyra- och sextaktsfunktionsbesläktade funktioner och överdrivna mekanismer
• Tillämpningar av Watt II funktionsgeneratorer
• Kopplar besläktade mekanismer av vissa parallellogramformer av Watts sexlänksmekanism