Becks monadicitetssats

Inom kategoriteorin , en gren av matematiken , ger Becks monadicitetsteorem ett kriterium som kännetecknar monadiska funktorer , introducerat av Jonathan Mock Beck ( 2003 ) omkring 1964. Det anges ofta i dubbel form för komonader . Det kallas ibland Becks trippelsats på grund av den äldre termen trippel för en monad.

Becks monadicitetsteorem hävdar att en funktor

är monadisk om och bara om

  1. U har en vänster adjoint ;
  2. U reflekterar isomorfismer (om U ( f ) är en isomorfism så är f ). och
  3. C har samutjämnare av U -delade parallella par (de där parallella par av morfismer i C , som U skickar till par som har en delad samutjämnare i D ), och U bevarar dessa koequalizers.

Det finns flera varianter av Becks teorem: om U har en vänsteradjoint så säkerställer något av följande villkor att U är monadisk:

  • U återspeglar isomorfismer och C har coequalizers av reflexiva par (de med en gemensam högerinvers) och U bevarar dessa coequalizers. (Detta ger den råa monadicitetssatsen.)
  • Varje diagram i C som av U skickas till en delad coequalizer-sekvens i D är i sig en co-equalizer-sekvens i C . Med olika ord, U skapar (bevarar och reflekterar) U -delade coequalizer-sekvenser.

En annan variant av Becks sats kännetecknar strikt monadiska funktorer: de för vilka jämförelsefunktionen är en isomorfism snarare än bara en ekvivalens av kategorier . För denna version ändras definitionerna av vad det innebär att skapa coequalizers något: coequalizern måste vara unik snarare än bara unik upp till isomorfism.

Becks sats är särskilt viktig i dess relation med härkomstteorin , som spelar en roll i kärve- och stackteorin , liksom i Alexander Grothendiecks inställning till algebraisk geometri . De flesta fall av troget platt nedstigning av algebraiska strukturer (t.ex. de i FGA och i SGA1 ) är specialfall av Becks teorem. Teoremet ger en exakt kategorisk beskrivning av processen för 'nedstigning', på denna nivå. 1970 visades Grothendieck-tillvägagångssättet via fiberkategorier och härkomstdata (av Jean Bénabou och Jacques Roubaud ) vara likvärdigt (under vissa förhållanden) med comonad-metoden. I ett senare arbete Pierre Deligne Becks teorem på Tannakis kategoriteori , vilket kraftigt förenklade den grundläggande utvecklingen.

Exempel

  • Den glömska funktorn från topologiska utrymmen till mängder är inte monadisk eftersom den inte reflekterar isomorfismer: kontinuerliga bijektioner mellan (icke-kompakta eller icke-Hausdorff) topologiska utrymmen behöver inte vara homeomorfismer.
  • Negrepontis (1971, ) visar att funktorn från kommutativ C*-algebra till mängder som skickar en sådan algebra A till enhetsbollen , dvs mängden , är monadisk. Negrepontis härleder också Gelfand-dualitet , dvs. likvärdigheten av kategorier mellan den motsatta kategorin av kompakta Hausdorff-rum och kommutativa C*-algebror kan härledas från detta.
  • Powerset-funktionen från Set op till Set är monadisk, där Set är kategorin av set. Mer generellt kan Becks teorem användas för att visa att powerset-funktorn från T op till T är monadisk för vilken topos T som helst, vilket i sin tur används för att visa att topos T har ändliga kogränser.
  • Den glömska funktören från semigrupper till uppsättningar är monadisk. Denna funktion bevarar inte godtyckliga coequalizers, vilket visar att en viss begränsning av coequalizers i Becks teorem är nödvändig om man vill ha villkor som är nödvändiga och tillräckliga.
  • Om B är en troget platt kommutativ ring över den kommutativa ringen A , så är funktorn T från A -moduler till B -moduler som tar M till B ⊗ A M en komonad. Detta följer av dual of Becks sats, eftersom villkoret att B är platt innebär att T bevarar gränser, medan villkoret att B är troget platt innebär att T reflekterar isomorfismer. En koalgebra över T visar sig i huvudsak vara en B -modul med nedstigningsdata, så det faktum att T är en komonad är ekvivalent med huvudsatsen om troget platt nedstigning, som säger att B -moduler med nedstigning är ekvivalenta med A -moduler.

externa länkar

  •    Balmer, Paul (2012), "Descent in triangulated categories", Mathematische Annalen , 353 (1): 109–125, doi : 10.1007/s00208-011-0674-z , MR 2910783 , S2CID 3519
  •   Barr, M.; Wells, C. (2013) [1985], Triples, toposes, and theories , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 278, Springer, ISBN 9781489900234 pdf
  •   Beck, Jonathan Mock (2003) [1967], "Triples, algebras and cohomology" (PDF) , Reprints in Theory and Applications of Categories , Columbia University PhD thesis, 2 : 1–59, MR 1987896
  • Bénabou, Jean ; Roubaud, Jacques (1970-01-12), "Monades et descente", CR Acad. Sci. Paris , 270 (A): 96–98
  • Leinster, Tom (2013), "Codensity and the ultrafilter monad", Theory and Applications of Categories , 28 : 332–370, arXiv : 1209.3606 , Bibcode : 2012arXiv1209.3606L
  •    Negrepontis, Joan W. (1971), "Duality in analysis from the point of view of triples", Journal of Algebra , 19 (2): 228–253, doi : 10.1016/0021-8693(71)90105-0 , ISSN 0021-8693 , MR 0280571
  •   Pavlović, Duško (1991), "Kategorisk interpolation: härkomst och Beck-Chevalley-tillståndet utan direkta bilder", i Carboni, A.; Pedicchio, MC; Rosolini, G. (red.), Category theory , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1488, Springer, s. 306–325, doi : 10.1007/BFb0084229 , ISBN 978-3-540-54706-8
  • Deligne, Pierre (1990), Catégories Tannakiennes, Grothendieck Festschrift, vol. II , Progress in Mathematics, vol. 87, Birkhäuser, s. 111–195
  •   Grothendieck, A. (1962), "Fondements de la géométrie algébrique", [Extraits du Séminaire Bourbaki, 1957—1962] , Paris: Secrétariat Math., MR 0146040
  •   Grothendieck, A.; Raynaud, M. (1971), Revêtements étales et groupe fondamental (SGA I) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 224, Springer, arXiv : math.AG/0206203 , doi : 10.1007/BFb0058656 , ISBN 978-3-540-36910-3
  •   Borceux, Francis (1994), Basic Category Theory , Handbook of Categorical Algebra, vol. 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44178-0 (3 volymer).
  •    Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Illusie, Luc; Kleiman, Steven L.; Nitsure, Nitin; Vistoli, Angelo (2005), Fundamental Algebraic Geometry: Grothendieck's FGA Explained , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 123, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4245-4 , MR 2222646
  •    Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, red. (2004), Kategoriska grunder. Särskilda ämnen i ordning, topologi, algebra och kärveteori , Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 97, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-83414-7 , Zbl 1034.18001
Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Beck%27s_monadicity_theorem&oldid=1090287644 "