Bachmann–Howard ordinal

Inom matematiken är Bachmann-Howard-ordinalen (även känd som Howard-ordinal eller Howard-Bachmann-ordinal ) en stor räknebar ordinal . Det är den bevisteoretiska ordinalen för flera matematiska teorier , såsom Kripke-Platek-mängdläran (med oändlighetens axiom ) och den konstruktiva mängdlärans system CZF . Den introducerades av Heinz Bachmann ( 1950 ) och William Alvin Howard ( 1972 ).

Definition

Bachmann-Howard-ordinalen definieras med hjälp av en ordinalkollapsfunktion :

• ε _α räknar upp epsilontalen , ordningstalen ε så att ω ^ε = ε .
• Ω = ω ₁ är den första oräkneliga ordinalen .
• ε _Ω+1 är det första epsilontalet efter Ω = ε _Ω .
• ψ ( α ) definieras som den minsta ordinal som inte kan konstrueras genom att börja med 0, 1, ω och Ω, och upprepade gånger tillämpa ordinal addition , multiplikation och exponentiering, och ψ på tidigare konstruerade ordinaler (förutom att ψ endast kan tillämpas till argument mindre än α , för att säkerställa att det är väldefinierat).
• Bachmann –Howards ordinal är ψ ( ε _Ω+1 ).

Bachmann–Howard-ordinalen kan också definieras som $\varphi _{\varepsilon _{\Omega +1}}(0)$ för en utvidgning av Veblen-funktionerna φ _α till vissa funktioner α av ordningstal; denna förlängning utfördes av Heinz Bachmann och är inte helt okomplicerad.

•   Bachmann, Heinz (1950), "Die Normalfunktionen und das Problem der ausgezeichneten Folgen von Ordnungszahlen", Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Zürich , 95 : 115–147, MR 0036806
•     Howard, WA (1972), "A system of abstract constructive ordinals." Journal of Symbolic Logic , Association for Symbolic Logic, 37 (2): 355–374, doi : 10.2307/2272979 , JSTOR 2272979 , MR 4 03298ID 5 , S6298ID 5
•    Pohlers, Wolfram (1989), Proof theory , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1407, Berlin: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-540-46825-7 , ISBN 3-540-51842-8 , MR 1026933
• Rathjen, Michael (augusti 2005). "Proof Theory: Del III, Kripke-Platek Set Theory" (PDF) . Arkiverad från originalet (PDF) 2007-06-12 . Hämtad 2008-04-17 . (Bilder från ett föredrag som hölls i Fischbachau.)