Babuška–Lax–Milgram-satsen

Inom matematiken är Babuška –Lax–Milgram-satsen en generalisering av den berömda Lax–Milgram-satsen , som ger förutsättningar under vilka en bilinjär form kan "inverteras" för att visa existensen och unikheten hos en svag lösning på ett givet gränsvärdesproblem . Resultatet är uppkallat efter matematikerna Ivo Babuška , Peter Lax och Arthur Milgram .

Bakgrund

I det moderna, funktionsanalytiska tillvägagångssättet för studiet av partiella differentialekvationer försöker man inte lösa en given partiell differentialekvation direkt, utan genom att använda strukturen i vektorrummet för möjliga lösningar, t.ex. ett Sobolevrum W ^{k , p .} . Abstrakt betrakta två reella normerade rum U och V med deras kontinuerliga dubbla rum U ^∗ respektive V ^∗ . I många applikationer U utrymmet för möjliga lösningar; givet någon partiell differentialoperator Λ : U → V ^∗ och ett specificerat element f ∈ V ^∗ , är målet att hitta a u ∈ U så att

\Lambda u=f.

I den svaga formuleringen krävs dock att denna ekvation bara håller när den "testas" mot alla andra möjliga element i V. Denna "testning" åstadkommes med hjälp av en bilinjär funktion B : U × V → R som kodar differentialoperatorn Λ; en svag lösning på problemet är att hitta en u ∈ U sådan att

B(u,v)=\langle f,v\rangle {\mbox{ för alla }}v\in V.

Lax och Milgrams prestation i deras resultat från 1954 var att specificera tillräckliga villkor för att denna svaga formulering skulle ha en unik lösning som kontinuerligt beror på det specificerade datumet f ∈ V ^∗ : det räcker att U = V är ett Hilbertrum , att B är kontinuerligt, och att B är starkt tvångsmässigt , dvs

|B(u,u)|\geq c\|u\|^{2}

för någon konstant c > 0 och alla u ∈ U .

Till exempel, i lösningen av Poisson-ekvationen på en begränsad , öppen domän Ω ⊂ R ⁿ ,

{\begin{cases}-\Delta u(x)=f(x),&x\in \Omega ;\\u(x)=0,&x\in \partial \Omega ;\end{cases} }

₀ utrymmet U kan tas för att vara Sobolev-utrymmet H ¹ (Ω) med dubbel H ⁻¹ (Ω); den förra ^är ett delrum av Lp ^- utrymmet V = L2 (Ω); den bilinjära formen B associerad med −Δ är L ² (Ω) inre produkten av derivaten:

B(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,\mathrm {d} x.

Därför är den svaga formuleringen av Poisson-ekvationen, givet f ∈ L ² (Ω), att hitta u _f sådan att

\int _{\Omega }\nabla u_{f}(x)\cdot \nabla v(x)\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f(x)v(x )\,\mathrm {d} x{\mbox{ för alla }}v\in H_{0}^{1}(\Omega ).

Uttalande av satsen

År 1971 tillhandahöll Babuška följande generalisering av Lax och Milgrams tidigare resultat, som börjar med att avstå från kravet att U och V är samma utrymme. Låt U och V vara två riktiga Hilbertrum och låt B : U × V → R vara en kontinuerlig bilinjär funktion. Antag också att B är svagt tvångsmässigt: för någon konstant c > 0 och alla u ∈ U ,