Askkey-schema

Inom matematik är Askey-schemat ett sätt att organisera ortogonala polynom av hypergeometrisk eller grundläggande hypergeometrisk typ i en hierarki. För de klassiska ortogonala polynomen som diskuteras i Andrews & Askey (1985) ritades Askey-schemat först av Labelle (1985) och av Askey och Wilson ( 1985 ), och har sedan dess utökats av Koekoek & Swarttouw (1998) och Koekoek, Lesky & Swarttouw (2010) för att täcka grundläggande ortogonala polynom.

Askkey-schema för hypergeometriska ortogonala polynom

Koekoek, Lesky & Swarttouw (2010 , s.183) ger följande version av Askey-schemat:

${}_{4}F_{3}(4)$: Wilson | Racah
${}_{3}F_{2}(3)$: Kontinuerlig dubbel Hahn | Kontinuerlig Hahn | Hahn | dubbel Hahn
${}_{2}F_{1}(2)$: Meixner–Pollaczek | Jacobi | Pseudo Jacobi | Meixner | Krawtchouk
${}_{2}F_{0}(1)\ \ /\ \ {}_{1}F_{1}(1)$: Laguerre | Bessel | Charlier
${}_{2}F_{0}(0)$: Hermite

Här indikerar ${}_{p}F_{q}(n)$ en hypergeometrisk serierepresentation med $n$ parametrar

Askkey-schema för grundläggande hypergeometriska ortogonala polynom

Koekoek, Lesky & Swarttouw (2010, s.413) ger följande schema för grundläggande hypergeometriska ortogonala polynom:

₄ $\phi$ ₃: Askey–Wilson | q-Racah
₃ $\phi$ ₂: Kontinuerlig dubbel q-Hahn | Kontinuerlig q-Hahn | Big q-Jacobi | q-Hahn | dubbel q-Hahn
₂ $\phi$ ₁: Al-Salam–Chihara | q-Meixner–Pollaczek | Kontinuerlig q-Jacobi | Big q-Laguerre | Lilla q-Jacobi | q-Meixner | Quantum q-Krawtchouk | q-Krawtchouk | Affine q-Krawtchouk | Dual q-Krawtchouk
₀₂ $\phi$ / ₁ $\phi$ ₁: Kontinuerlig stor q-Hermite | Kontinuerlig q-Laguerre | Lilla q-Laguerre | q-Laguerre | q-Bessel | q-Charlier | Al-Salam–Carlitz I | Al-Salam–Carlitz II
₁ $\phi$ ₀: Kontinuerlig q-Hermite | Stieltjes–Wigert | Diskret q-Hermite I | Diskret q-Hermite II

Fullständighet

Även om det finns flera tillvägagångssätt för att konstruera ännu mer allmänna familjer av ortogonala polynom, är det vanligtvis inte möjligt att utöka Askey-schemat genom att återanvända hypergeometriska funktioner av samma form. Till exempel kan man naivt hoppas att hitta nya exempel som ges av

p_{n }(x)={}_{q+1}F_{q}\left({\begin{array}{c}-n,n+\mu ,a_{1}(x),\dots ,a_{q -1}(x)\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};1\right)

ovanför $q=3$ vilket motsvarar Wilson-polynomen. Detta uteslöts i Cheikh, Lamiri & Ouni (2009) under antagandet att $a_{i}(x)$ är grad 1 polynom så att

\prod _{i=1}^{q-1 }(a_{i}(x)+r)=\prod _{i=1}^{q-1}a_{i}(x)+\pi (r)

för något polynom $\pi (r)$ .

Andrews, George E.; Askey, Richard (1985), "Classical ortogonal polynomials", i Brezinski, C.; Draux, A.; Magnus, Alphonse P.; Maroni, Pascal; Ronveaux, A. (red.), Polynômes orthogonaux et applications. Proceedings of the Laguerre-symposium som hölls i Bar-le-Duc, 15–18 oktober 1984. , Lecture Notes in Math., vol. 1171, Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 36–62, doi : 10.1007/BFb0076530 , ISBN 978-3-540-16059-5 , MR 0838970
Askey, Richard; Wilson, James (1985), "Some basic hypergeometric ortogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials" , Memoirs of the American Mathematical Society , 54 (319): iv+55, doi : 10.1090/memo/0319 , ISBN 9278--0 2321-7 , ISSN 0065-9266 , MR 0783216
Cheikh, Y. Ben; Lamiri, I.; Ouni, A. (2009), "On Askey-schema and d-ortogonality, I: A characterization theorem", Journal of Computational and Applied Mathematics , 233 : 621–629
Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (1998), The Askey-schema of hypergeometric ortogonal polynomials and its q-analog , vol. 98–17, Delfts tekniska universitet, fakulteten för informationsteknologi och system, Institutionen för teknisk matematik och informatik
Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Hypergeometric ortogonal polynomials and their q-analogs , Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5 , ISBN 978-3N -642-05013-8 , MR 2656096
Koornwinder, Tom H. (1988), "Group theoretic interpretations of Askey's scheme of hypergeometric ortogonal polynomials", Ortogonala polynom och deras tillämpningar (Segovia, 1986) , Lecture Notes in Math., vol. 1329, Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 46–72, doi : 10.1007/BFb0083353 , ISBN 978-3-540-19489-7 , MR 0973421
Labelle, Jacques (1985), "Tableau d'Askey", i Brezinski, C.; Draux, A.; Magnus, Alphonse P.; Maroni, Pascal; Ronveaux, A. (red.), Polynômes Orthogonaux et Applications. Proceedings of the Laguerre Symposium som hölls i Bar-le-Duc , Lecture Notes in Math., vol. 1171, Berlin, New York: Springer-Verlag , s. xxxvi–xxxvii, doi : 10.1007/BFb0076527 , ISBN 978-3-540-16059-5 , MR 0838967