Artins approximationssats

Inom matematik är Artins approximationssats ett grundläggande resultat av Michael Artin ( 1969 ) i deformationsteorin som innebär att formella potensserier med koefficienter i ett fält k är väl approximerade av de algebraiska funktionerna på k .

Mer exakt bevisade Artin två sådana satser: en, 1968, om approximation av komplexa analytiska lösningar genom formella lösningar (i fallet ${\displaystyle k=\mathbb {C} } )$ ; och en algebraisk version av detta teorem 1969.

Uttalande av satsen

Låt $\mathbf {x} =x_{1},\dots ,x_{n}$ beteckna en samling av n obestämda , $k[ [\mathbf {x} ]]$ ringen av formella potensserier med obestämda $\mathbf {x}$ över ett fält k , och $displaystyle \mathbf {y} =y_{1},\dots ,y_{n}}$ \ en annan uppsättning obestämda. Låta

$f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0$

vara ett system av polynomekvationer i ${\displaystyle k[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]} ,$ och c ett positivt heltal . Sedan ges en formell potensserielösning ${\hat {\mathbf {y} }}(\mathbf {x} )\in k[[\mathbf {x} ]]$ , det finns en algebraisk lösning $\mathbf {y} (\mathbf {x} )$ bestående av algebraiska funktioner (mer exakt, algebraiska potensserier) så att

${\hat {\mathbf {y} }}(\mathbf {x} )\equiv \mathbf {y} (\mathbf {x} ){\bmod {(}}\mathbf {x} )^{ c}.$

Diskussion

Givet varje önskat positivt heltal c visar denna sats att man kan hitta en algebraisk lösning som approximerar en formell potensserielösning upp till den grad som anges av c . Detta leder till satser som härleder förekomsten av vissa formella modulrum av deformationer som scheman . Se även: Artins kriterium .

Alternativt uttalande

Följande alternativa påstående ges i sats 1.12 av Michael Artin ( 1969 ).

Låt $R$ vara ett fält eller en utmärkt diskret värderingsring, låt $A$ vara henseliseringen av en $R$ -algebra av finit typ vid ett primideal, låt m vara ett egentligt ideal för $A$ , låt ${\hat {A}}$ vara den m -adiciska kompletteringen av $A$ , och låt

$F\colon (A{\text{-algebras}})\to ({\text{set}}),$

vara en funktor som skickar filtrerade colimits till filtrerade colimits (Artin kallar en sådan funktor lokalt av finit presentation). Sedan för alla heltal c och alla ${\displaystyle {\overline {\xi }}\i F({\hat {A}})} ,$ finns det en ${ \displaystyle \xi \in F(A)}$ så att

${\overline {\xi }}\equiv \xi {\bmod {m}}^{c}$ .

Se även

• Ring med ungefärlig egenskap
• Popescus sats
• Artins kriterium

•   Artin, Michael (1969), "Algebraisk approximation av strukturer över kompletta lokala ringar" , Publications Mathématiques de l'IHÉS (36): 23–58, MR 0268188
•   Artin, Michael (1971). Algebraiska utrymmen . Yale matematiska monografier. Vol. 3. New Haven, CT–London: Yale University Press . MR 0407012 .
•   Raynaud, Michel (1971), "Travaux récents de M. Artin" , Séminaire Nicolas Bourbaki , 11 (363): 279–295, MR 3077132