Artin–Hasse exponentiell

Inom matematik är Artin –Hasse-exponentialen , introducerad av Artin och Hasse ( 1928 ), den potensserie som ges av

E_{p}(x)=\exp \left(x+{\frac {x^{p}}{p}}+{\frac {x^{p^{2}}}{p^{ 2}}}+{\frac {x^{p^{3}}}{p^{3}}}+\cdots \right).

Motivering

Ett motiv för att betrakta denna serie som analog med exponentialfunktionen kommer från oändliga produkter. I ringen av formell maktserie Q [[ x ]] har vi identiteten

e^{x}=\prod _{n\geq 1}(1-x^{n})^{ -\mu (n)/n},

där μ(n) är Möbius-funktionen . Denna identitet kan verifieras genom att visa att den logaritmiska derivatan av de två sidorna är lika och att båda sidorna har samma konstanta term. På ett liknande sätt kan man verifiera en produktexpansion för Artin-Hasse exponential:

E_{p}(x)=\prod _{(p,n)=1}(1-x^{n})^{-\mu (n)/n}.

Så att gå från en produkt över allt n till en produkt över endast n primtal till p , vilket är en typisk operation i p -adisk analys, leder från e ^x till E _p ( x ).

Egenskaper

Koefficienterna för E _p ( x ) är rationella. Vi kan använda båda formlerna för E _p ( x ) för att bevisa att, till skillnad från e ^x , alla dess koefficienter är p -integraler; med andra ord, nämnarna för koefficienterna för E _p ( x ) är inte delbara med p . Ett första bevis använder definitionen av E _p ( x ) och Dworks lemma , som säger att en potensserie f ( x ) = 1 + ... med rationella koefficienter har p -integralkoefficienter om och endast om f ( x ^p )/ f ( x ) ^p ≡ 1 mod p Z _p [[ x ]]. När f ( x ) = E _p ( x ) har vi f ( x ^p )/ f ( x ) ^p = e ^{− px} , vars konstantled är 1 och alla högre koefficienter är i p Z _p . Ett andra bevis kommer från den oändliga produkten för E _p ( x ): varje exponent -μ( n )/ n för n som inte är delbar med p är en p -integral, och när ett rationellt tal a är p -integral är alla koefficienter i binomexpansion av (1 - x ⁿ ) ^a är p -integral av p -adisk kontinuitet för de binomialkoefficientpolynomen t ( t -1)...( t - k +1)/ k ! i t tillsammans med deras uppenbara integralitet när t är ett icke-negativt heltal ( a är en p -adisk gräns för icke-negativa heltal). Således har varje faktor i produkten av E _p ( x ) p -integralkoefficienter, så E _p ( x ) själv har p -integralkoefficienter.

( p -integral) har konvergensradie 1.

Kombinatorisk tolkning

Artin-Hasse-exponentialen är den genererande funktionen för sannolikheten att ett enhetligt slumpmässigt valt element av S _n (den symmetriska gruppen med n element) har p -potensordning (vars antal betecknas med t _p,n ):

E_{p}(x)=\sum _{n\geq 0}{\frac {t_{p,n}}{n!}}x^{n}.

Detta ger ett tredje bevis på att koefficienterna för E _p ( x ) är p -integraler, med hjälp av Frobenius sats att i en ändlig ordningsgrupp som är delbar med d är antalet element av ordning som dividerar d också delbart med d . Tillämpa detta teorem på den n: te symmetriska gruppen med d lika med den högsta potensen av p som delar n !.

Mer generellt, för varje topologiskt ändligt genererad profinit grupp G finns det en identitet

\exp(\sum _{H\subset G}x^{[G:H]}/[G:H])=\summa _{n\geq 0}{\frac {a_{ G,n}}{n!}}x^{n},

där H löper över öppna undergrupper av G med ändligt index (det finns ändligt många av varje index eftersom G är topologiskt ändligt genererad) och en _G,n är antalet kontinuerliga homomorfismer från G till S _n . Två specialfall är värda att notera. (1) Om G är de p -adiska heltal, har den exakt en öppen undergrupp av varje p -potensindex och en kontinuerlig homomorfism från G till S _n är i huvudsak samma sak som att välja ett element av p -potens ordning i S _n , så vi har återställt ovanstående kombinatoriska tolkning av Taylor-koefficienterna i Artin-Hasse-exponentialserien. (2) Om G är en finit grupp så är summan i exponentialen en finit summa som löper över alla undergrupper av G , och kontinuerliga homomorfier från G till S _n är helt enkelt homomorfier från G till S _n . Resultatet i detta fall beror på Wohlfahrt (1977). Det speciella fallet när G är en finit cyklisk grupp beror på Chowla, Herstein och Scott (1952) och tar formen

\exp(\sum _{d|m}x^{d}/d)=\summa _{n\geq 0}{\frac {a_{m,n}}{n!} }x^{n},

där a _m,n är antalet lösningar till g ^m = 1 i S _n .

David Roberts gav en naturlig kombinatorisk koppling mellan Artin-Hasse-exponentialen och den reguljära exponentialen i andan av det ergodiska perspektivet (som länkar de p -adiska och reguljära normerna över de rationella) genom att visa att Artin-Hasse-exponentialen också är den genererande funktionen för sannolikheten att ett element i den symmetriska gruppen är unipotent i karakteristiken p , medan den reguljära exponentialen är sannolikheten att ett element i samma grupp är unipotent i karakteristiken noll. ^{[ citat behövs ]}

Gissningar

Vid 2002 års PROMYS -program antog Keith Conrad att koefficienterna för $E_{p}(x)$ är likformigt fördelade i de p-adiska heltal med avseende på det normaliserade Haar-måttet, med stödjande beräkningsbevis . Problemet är fortfarande öppet.

Dinesh Thakur har också ställt problemet med huruvida Artin–Hasse exponentiellt reducerade mod p är transcendental över $\mathbb {F} _{p}(x)$ .

Se även

Artin, E.; Hasse, H. (1928), "Die beiden Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz der ln-ten Potenzreste im Körper der ln-ten Einheitswurzeln", Abhandlungen Hamburg , 6 : 146–162, JFM 54.0191.05
En kurs i p-adisk analys , av Alain M. Robert
Fesenko, Ivan B.; Vostokov, Sergei V. (2002), Lokala fält och deras förlängningar , Translations of Mathematical Monographs, vol. 121 (andra upplagan), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3259-2 , MR 1915966