Frobenius sats (gruppteori)
I matematisk gruppteori säger Frobenius sats att om n delar ordningen för en finit grupp G , så är antalet lösningar av x n = 1 en multipel av n . Den introducerades av Frobenius ( 1903 ).
Påstående
En mer allmän version av Frobenius teorem säger att om C är en konjugationsklass med h element i en finit grupp G med g element och n är ett positivt heltal, så är antalet element k så att k n är i C en multipel av den största gemensamma divisorn ( hn , g ) ( Hall 1959 , sats 9.1.1).
Ansökningar
En tillämpning av Frobenius sats är att visa att koefficienterna för Artin–Hasse-exponentialen är p- integraler, genom att tolka dem i termer av antalet ordningselement en potens av p i den symmetriska gruppen S n .
Frobenius gissning
Frobenius antog att om dessutom antalet lösningar till x n =1 är exakt n där n delar ordningen av G så bildar dessa lösningar en normal undergrupp . Detta har bevisats som en konsekvens av klassificeringen av ändliga enkla grupper . Den symmetriska gruppen S 3 har exakt 4 lösningar till x 4 =1 men dessa bildar ingen normal undergrupp; detta är inte ett motexempel till gissningen eftersom 4 inte delar ordningen på S 3 .
- Frobenius, G. (1903), "Über einen Fundamentalsatz der Gruppentheorie", Berl. Ber. : 987–991, JFM 34.0153.01
- Hall, Marshall (1959), Theory of Groups , Macmillan, LCCN 59005035 , MR 0103215