Dubbel Steenrod algebra

Inom algebraisk topologi , genom en algebraisk operation (dualisering), finns det en associerad kommutativ algebra från de icke-kommutativa Steenrod-algebran som kallas den dubbla Steenrod-algebra . Denna dubbla algebra har ett antal överraskande fördelar, som att den är kommutativ och tillhandahåller tekniska verktyg för att beräkna Adams spektralsekvens i många fall (som $\pi _{*}(MU)$ ^{pg 61-62} ) med stor lätthet.

Definition

Kom ihåg ^{sid 59} att Steenrod-algebra ${\mathcal {A}}_{p}^{*}$ (även betecknad ${\mathcal {A}}^{*}$ ) är en graderad icke-kommutativ Hopf-algebra som är samkommutativ, vilket betyder att dess comultiplication är samkommutativ. Detta innebär om vi tar den dubbla Hopf-algebra, betecknad ${\mathcal {A}}_{p,*}$ , eller bara ${\mathcal {A}}_{* }$ , då ger detta en graderad kommutativ algebra som har en icke-kommutativ kommultiplikation. Vi kan sammanfatta denna dualitet genom att dualisera ett kommutativt diagram av Steenrods Hopf-algebrastruktur:

${\mathcal {A}}_{p}^{*}\xrightarrow {\psi ^{*}} {\mathcal {A}}_{p}^{*}\otimes {\mathcal {A}}_{p}^{*}\xrightarrow {\phi ^{*}} {\mathcal {A}}_{p} ^{*}$

Om vi ​​dualiserar får vi kartor

${\mathcal {A}}_{p,*}\xleftarrow {\psi _{*}}$

ger huvudstrukturkartorna för den dubbla Hopf-algebran. Det visar sig att det finns en fin struktursats för den dubbla Hopf-algebra, åtskild av om primtal är $2$ eller udda.

Fall av p=2

I detta fall är den dubbla Steenrod-algebra en graderad kommutativ polynomalgebra ${\mathcal {A}}_{*}=\mathbb {Z} / 2[\xi _{1},\xi _{2},\ldots ]$ där graden $\deg(\xi _{n})=2^ {n}-1$ . Sedan ges samproduktkartan av

$\Delta :{\mathcal {A}}_{*}\to {\mathcal {A}}_{*}\otimes {\mathcal {A}}_ {*}$

sändning

$\Delta \xi _{n}=\summa _{0\leq i\leq n}\xi _{ni}^{ 2^{i}}\otimes \xi _{i}$

där $\xi _{0}=1$ .

Allmänt fall av p > 2

För alla andra primtal är den dubbla Steenrod-algebra något mer komplex och involverar en graderad-kommutativ yttre algebra förutom en graderad-kommutativ polynomalgebra. Om vi ​​låter $\Lambda (x,y)$ beteckna en yttre algebra över $\mathbb {Z} /p$ med generatorer $x$ och ${ \displaystyle y}$ , då har den dubbla Steenrod-algebra presentationen

${\mathcal {A}}_{*}=\mathbb {Z} /p[\xi _{1},\xi _{2},\ldots ]\otimes \Lambda (\tau _{0},\tau _{1},\ldots )$

var

${\begin{aligned}\deg(\xi _{n})&=2(p ^{n}-1)\\\deg(\tau _{n})&=2p^{n}-1\end{aligned}}$

Dessutom har den commultiplikationen $\Delta :{\mathcal {A}}_{*}\to {\mathcal {A}}_{*}\otimes { \mathcal {A}}_{*}$ definieras av

$_ start{aligned}\Delta (\xi _{n})&=\summa _{0\leq i\leq n}\xi _{ni}^{p^{i}}\otimes \xi _{i} \\\Delta (\tau _{n})&=\tau _{n}\otimes 1+\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{ni}^{p^{i}} \otimes \tau _{i}\end{aligned}}}$

där återigen $\xi _{0}=1$ .

Resten av Hopfs algebrastruktur i båda fallen

Resten av Hopf-algebrastrukturerna kan beskrivas exakt likadant i båda fallen. Det finns både en enhetskarta $\eta$ och en enhetskarta $\varepsilon$

${\begin{aligned}\eta &:\mathbb {Z} /p\to {\mathcal {A}}_{*}\ \\varepsilon &:{\mathcal {A}}_{*}\to \mathbb {Z} /p\end{aligned}}$

som båda är isomorfismer i grad $0$ : dessa kommer från den ursprungliga Steenrod-algebra. Dessutom finns det också en konjugationskarta $c:{\mathcal {A}}_{*}\to {\mathcal {A}}_{*}$ definierad rekursivt av ekvationer

${\begin{aligned}c(\xi _{0})&=1\\\summa _{ 0\leq i\leq n}\xi _{ni}^{p^{i}}c(\xi _{i})&=0\end{aligned}}$

Dessutom kommer vi att beteckna ${\overline {{\mathcal {A}}_{*}}}$ som kärnan i myntkartan $\varepsilon$ som är isomorf till ${\mathcal {A}}_{*}$ i grader $>1$ .

Se även

• Adams-Novikov spektralsekvens