Abhyankars gissning
I abstrakt algebra är Abhyankars gissning en gissning från 1957 av Shreeram Abhyankar , om Galois-grupperna av algebraiska funktionsfält med karakteristisk p . Det lösliga fallet löstes av Serre 1990 och hela gissningen bevisades 1994 av Michel Raynauds och David Harbaters arbete .
Problemet involverar en finit grupp G , ett primtal p , och funktionsfältet K(C) för en icke-singular integral algebraisk kurva C definierad över ett algebraiskt slutet fält K med karakteristiken p .
Frågan tar upp förekomsten av en Galois-förlängning L av K ( C ), med G som Galois-grupp, och med specificerad förgrening . Ur geometrisk synvinkel motsvarar L en annan kurva C ′ , tillsammans med en morfism
- π : C ′ → C .
Geometriskt betyder påståendet att π är förgrenad vid en ändlig uppsättning S av punkter på C att π begränsad till komplementet av S i C är en etale morfism . Detta är i analogi med fallet med Riemann-ytor . I Abhyankars gissning S fixerad, och frågan är vad G kan vara. Detta är därför en speciell typ av omvänd Galois-problem .
Undergruppen p ( G ) definieras som den undergrupp som genereras av alla Sylow-undergrupper av G för primtalet p . Detta är en normal undergrupp och parametern n definieras som det minsta antalet generatorer av
- G / p ( G ).
Sedan för fallet med C den projektiva linjen över K , anger gissningen att G kan realiseras som en Galois-grupp av L , oframifierad utanför S innehållande s + 1 punkter, om och endast om
- n ≤ s .
Detta bevisades av Raynaud.
För det allmänna fallet, bevisat av Harbater, låt g vara släktet av C . Då G realiseras om och bara om
- n ≤ s + 2 g .