Inom matematiken är Abel–Plana-formeln en summeringsformel som upptäckts oberoende av Niels Henrik Abel ( 1823 ) och Giovanni Antonio Amedeo Plana ( 1820 ). Det står det
∑
n =
0
∞
f
(
a + n
)
=
∫
a
∞
f
( x )
d x +
f
( a )
2
+
0
∫
∞
f
(
a − i x
)
− f
(
a + i x
)
i
(
e
2 π x )
− 1
)
d x
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f\left(a+n\right)=\int _{a}^{\infty }f\left(x\right )dx+{\frac {f\left(a\right)}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {f\left(a-ix\right)-f\left( a+ix\right)}{i\left(e^{2\pi x}-1\right)}}dx}
För fallet
a =
0
{\displaystyle a=0}
0
∑
n =
0
∞
f ( n ) =
1 2
f ( ) +
0
∫
∞
f ( x ) d x + i
0
∫
∞
f ( i t ) − f ( − i t )
e
2 π t
− 1
d t .
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+\int _{0}^{\infty }f(x )\,dx+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}
Det gäller för funktioner ƒ som är holomorfa i regionen Re( z ) ≥ 0, och som uppfyller ett lämpligt tillväxtvillkor i denna region; till exempel räcker det att anta att | ƒ | begränsas av C /| z | 1+ ε i denna region för vissa konstanter C , ε > 0, även om formeln också håller under mycket svagare gränser. ( Olver 1997 , s. 290).
Ett exempel ges av Hurwitz zeta-funktionen ,
ζ ( s , α ) =
∑
n =
0
∞
1
( n + α
)
s
=
α
1 − s
s − 1
+
1
2
α
s
+ 2
0
∫
∞
sin
(
s arctan
t α )
) ( α
(
α
2
t
α
2
)
s 2
d t
e
2 π t
− 1
,
{\displaystyle \zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^ {s}}}={\frac {\alpha ^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2\alpha ^{s}}}+2\int _{0} ^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan {\frac {t}{\alpha }}\right)}{(\alpha ^{2}+t^{2})^{\ frac {s}{2}}}}{\frac {dt}{e^{2\pi t}-1}},}
som gäller för alla
s ∈
C
{\displaystyle s\in \mathbb {C} } ,
≠ 1
Abel gav också följande variant för alternerande summor:
0
∑
n =
0
∞
( − 1
)
n
f ( n ) =
1 2
f ( ) + i
0
∫
∞
f ( i t ) − f ( − i t )
2 sinh ( π t )
d t ,
{\displaystyle \summa _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{2\sinh(\pi t)}}\,dt,}
som är relaterad till Lindelöfs summationsformel
∑
k = m
∞
( − 1
)
k
f ( k ) = ( − 1
)
m
∫
− ∞
∞
f ( m − 1
/
2 + i x )
d x
2 cosh ( π x )
.
{\displaystyle \sum _{k=m}^{\infty }(-1)^{k}f(k)=(-1)^{m}\int _{-\infty }^{\infty } f(m-1/2+ix){\frac {dx}{2\cosh(\pi x)}}.}
Bevis
Låt
f
{\displaystyle f}
ℜ ( z ) ≥
0
{\displaystyle \Re (z)\geq 0} ,
0
f ( ) =
0
{\displaystyle f(0)=0}
f ( z ) = O (
|
z
|
k
)
{\displaystyle f(z)=O(|z|^{k})}
arg ( z ) ∈ ( − β , β )
{\displaystyle \operatornamn {arg} (z )\in (-\beta ,\beta )}
f ( z ) = O (
|
z
|
− 1 − δ
)
{\displaystyle f(z)=O(|z|^{-1-\delta }) }
a =
e
i β
/
2
{\displaystyle a=e^{i\beta /2}}
restsatsen
∫
a
− 1
∞
0
+
0
∫
a ∞
f ( z )
e
− 2 i π z
− 1
d z = − 2 i π
∑
n =
0
∞
Res
(
f ( z )
e
− 2 i π z
− 1
)
=
∑
n =
0
∞
f ( n ) .
{\displaystyle \int _{a^{-1}\infty }^{0}+\int _{0}^{a\infty }{\frac {f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}}\,dz=-2i\pi \sum _{n=0}^{\infty }\operatörsnamn {Res} \left({\frac {f(z)}{e^{-2i \pi z}-1}}\right)=\summa _{n=0}^{\infty }f(n).}
Sedan
∫
a
− 1
∞
0
f ( z )
e
− 2 i π z
− 1
d z
= −
0
∫
a
− 1
∞
f ( z )
e
− 2 i π z
− 1
d z
=
0
∫
a
− 1
∞
f ( z )
e
2 i π z
− 1
d z +
0
∫
a
− 1
∞
f ( z ) d z
=
0
∫
∞
f (
a
− 1
t )
e
2 i π
a
− 1
t
− 1
d (
a
− 1
t ) +
0
∫
∞
f ( t ) d t .
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a^{-1}\infty }^{0}{\frac {f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}}\ ,dz&=-\int _{0}^{a^{-1}\infty }{\frac {f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}}\,dz\\& =\int _{0}^{a^{-1}\infty }{\frac {f(z)}{e^{2i\pi z}-1}}\,dz+\int _{0}^ {a^{-1}\infty }f(z)\,dz\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a^{-1}t)}{e^ {2i\pi a^{-1}t}-1}}\,d(a^{-1}t)+\int _{0}^{\infty }f(t)\,dt.\end {Justerat}}}
Använder Cauchy-integralsatsen för den sista.
0
∫
a ∞
f ( z )
e
− 2 i π z
− 1
d z =
0
∫
∞
f ( a t )
e
− 2 i π a t
− 1
d ( a t ) ,
{\displaystyle \int _{0}^ {a\infty }{\frac {f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}}\,dz=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(at )}{e^{-2i\pi at}-1}}\,d(at),}
således få
∑
n =
0
∞
f ( n ) =
0
∫
∞
(
f ( t ) +
a f ( a t )
e
− 2 i π a t
− 1
+
a
− 1
f (
a
− 1
t )
e
2 i π
a
− 1
t
- 1
)
d t .
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }\left(f(t)+{\frac {a\,f(at )}{e^{-2i\pi at}-1}}+{\frac {a^{-1}f(a^{-1}t)}{e^{2i\pi a^{-1 }t}-1}}\höger)\,dt.}
Denna identitet förblir sann genom analytisk fortsättning överallt där integralen konvergerar, och låter
a → i
{\displaystyle a\to i}
∑
n =
0
∞
f ( n ) =
0
∫
∞
(
f ( t ) +
i f ( i t ) − i f ( − i t )
e
2 π t
− 1
)
d t .
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }\left(f(t)+{\frac {i\,f(it )-i\,f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\höger)\,dt.}
Fallet ƒ (0) ≠ 0 erhålls på liknande sätt och ersätter
∫
a
− 1
∞
a ∞
f ( z )
e
− 2 i π z
− 1
d z
{\textstyle \int _{a^{-1}\infty } ^{a\infty }{\frac {f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}}\,dz}
Se även
Abel, NH (1823), Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies
Butzer, PL; Ferreira, PJSG; Schmeisser, G.; Stens, RL (2011), "Summationsformlerna för Euler-Maclaurin, Abel-Plana, Poisson och deras sammankopplingar med den ungefärliga samplingsformeln för signalanalys", Results in Mathematics , 59 (3 ) 359-400 , doi : 10.1007/s00025-010-0083-8 , ISSN 1422-6383 , MR 2793463 , S2CID 54634413
Olver, Frank William John (1997) [1974], Asymptotics and special functions , AKP Classics, Wellesley, MA: AK Peters Ltd., ISBN 978-1-56881-069-0 MR 1429619
Plana, GAA (1820), "Sur une nouvelle expression analytique des nombres Bernoulliens, propre à expprimer en termes finis la formule générale pour la sommation des suites", Mem. Accad. Sci. Torino , 25 : 403–418
externa länkar
