Vietas formler

I matematik relaterar Vietas formler koefficienterna för ett polynom till summor och produkter av dess rötter . De är uppkallade efter François Viète (mer vanligen hänvisad till med den latiniserade formen av hans namn, "Franciscus Vieta").

Grundläggande formler

Något allmänt polynom av grad n

P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}

(med koefficienterna är reella eller komplexa tal och

a n \neq 0

) har

n

(inte nödvändigtvis distinkta) komplexa rötter

r 1, r 2, ..., r n

av algebras fundamentalsats . Vietas formler relaterar polynomets koefficienter till teckensummor av produkter av rötterna

r 1, r 2, ..., r n

enligt följande:

{\begin{cases}r_{1}+r_{2}+\dots +r_{n-1}+r_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n }}}\\[1ex](r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\cdots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}+ r_{2}r_{4}+\cdots +r_{2}r_{n})+\cdots +r_{n-1}r_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{ n}}}\\[1ex]{}\quad \vdots \\[1ex]r_{1}r_{2}\cdots r_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0 }}{a_{n}}}.\end{cases}}

()

Vietas formler kan på motsvarande sätt skrivas som

\sum _{1\leq i_{1 <i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)=(-1)^{ k}{\frac {a_{nk}}{a_{n}}}

för

k = 1, 2, ..., n

(indexen

i k

sorteras i ökande ordning för att säkerställa att varje produkt av

k

rötter används exakt en gång).

Den vänstra sidan av Vietas formler är de elementära symmetriska polynomen av rötterna.

Vietas system (*) kan lösas med Newtons metod genom en explicit enkel iterativ formel, Durand-Kerner-metoden .

Generalisering till ringar

Vietas formler används ofta med polynom med koefficienter i valfri integraldomän $R$ . Då hör kvotienterna $a_{i}/a_{n}$ till fältet av bråkdelar av $R$ (och är möjligen i $R$ själv om $a_{n}$ råkar vara inverterbar i $R$ ) och rötterna $r_{i}$ tas i en algebraiskt sluten förlängning. Typiskt är $R$ ringen av heltal , fältet av bråk är fältet för de rationella talen och det algebraiskt slutna fältet är fältet för de komplexa talen .

Vietas formler är då användbara eftersom de ger relationer mellan rötterna utan att behöva beräkna dem.

För polynom över en kommutativ ring som inte är en integraldomän, är Vietas formler endast giltiga när $a_{n}$ inte är en nolldelare och $P(x)$ faktorer som $a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\dots (x-r_ {n})$ . Till exempel, i ringen av heltal modulo 8, har det kvadratiska polynomet $P(x)=x^{2}-1$ fyra rötter: 1, 3, 5, och 7. Vietas formler är inte sanna om t.ex. $r_{1}=1$ och $r_{2}=3$ , eftersom $P(x)\neq (x-1)(x-3)$ . Men $P(x)$ påverkar som $(x-1)(x-7)$ och även som $(x-3)(x-5)$ , och Vietas formler gäller om vi sätter antingen $r_{1}=1$ och $r_ {2}=7$ eller $r_{1}=3$ och $r_{2}=5$ .

Exempel

Vietas formler tillämpade på kvadratiska och kubiska polynom:

Rötterna $r_{1},r_{2}$ för det kvadratiska polynomet $P(x)=ax^{2} +bx+c$ uppfyller

r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.

Den första av dessa ekvationer kan användas för att hitta minimum (eller maximum) av $P$ ; se andragradsekvationen § Vietas formler .

Rötterna $r_{1},r_{2},r_{3}$ för det kubiska polynomet $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ uppfyller

r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+ r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.

Bevis

Vietas formler kan bevisas genom att utöka jämställdheten

a_{n} x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{1})(x-r_ {2})\cdots (x-r_{n})

(vilket är sant eftersom

r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}

är alla rötter till detta polynom), multiplicera faktorerna på höger sida, och identifiera koefficienterna för varje potens av

x.

Formellt, om man expanderar $(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_ {n}),$ termerna är exakt $(-1)^{nk}r_{1}^{b_{1} }\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},$ där $b_{i}$ är antingen 0 eller 1, beroende på om $r_{i}$ ingår i produkten eller inte, och k är antalet $r_{i}$ som ingår, så det totala antalet faktorer i produkten är n (räknas $x^{ k}$ med multiplicitet k ) – eftersom det finns n binära val (inkludera $r_{i}$ eller x ), finns det $2^{n}$ termer – geometriskt kan dessa vara förstås som hörn av en hyperkub. Gruppering av dessa termer efter grad ger de elementära symmetriska polynomen i $r_{i}$ – för x ^k , alla distinkta k -faldiga produkter av $r_{i}.$

Som ett exempel, betrakta kvadratiska

f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}(x-r_{1})(x-r_{2})= a_{2}(x^{2}-x(r_{1}+r_{2})+r_{1}r_{2}).

Vid jämförelse av identiska potenser av $x$ finner vi $a_{2}=a_{2}$ , $a_{ 1}=-a_{2}(r_{1}+r_{2})$ och $a_{0}=a_{2}(r_{1}r_{ 2})$ , med vilken vi till exempel kan identifiera $r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}$ och ${\displaystyle r_{1}r_{2}=a_{0}/a_{2}} ,$ som är Vietas formler för $n=2$ .

Historia

Som återspeglas i namnet upptäcktes formlerna av den franske matematikern François Viète från 1500-talet , för fallet med positiva rötter.

Enligt den brittiska 1700-talsmatematikern Charles Hutton , som citerats av Funkhouser, förstods den allmänna principen (inte begränsad till positiva verkliga rötter) först av den franske 1600-talets matematiker Albert Girard :

...[Girard var] den första personen som förstod den allmänna läran om bildandet av makternas koefficienter från summan av rötterna och deras produkter. Han var den förste som upptäckte reglerna för att summera styrkorna för rötterna till någon ekvation.

Se även

"Viète theorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Funkhouser, H. Gray (1930), "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations", American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 37 (7): 357–365, doi : 10.2307/2299273 , JSTOR 2299273
Vinberg, EB (2003), En kurs i algebra , American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN 0-8218-3413-4
Djukić, Dušan; et al. (2006), IMO-kompendiet: en samling problem som föreslås för de internationella matematiska olympiaderna, 1959–2004, Springer, New York, NY, ISBN 0-387-24299-6