Āryabhaṭas sinustabell
Āryabhatas sinustabell är en uppsättning av tjugofyra tal som ges i den astronomiska avhandlingen Āryabhatiya komponerad av den indiske matematikern och astronomen Āryabhata från 400-talet (476–550 e.Kr.), för beräkning av halvackorden i en viss uppsättning arcs cirkel. Uppsättningen av siffror visas i vers 12 i kapitel 1 Dasagitika av Aryabhatiya. Det är inte en tabell i modern mening av en matematisk tabell; det vill säga, det är inte en uppsättning siffror ordnade i rader och kolumner. Āryabhaṭas tabell är inte heller en uppsättning värden för den trigonometriska sinusfunktionen i konventionell mening; det är en tabell över de första skillnaderna mellan värdena på trigonometriska sinus uttryckta i bågminuter , och på grund av detta kallas tabellen också för Āryabhaṭas tabell över sinusdifferenser .
Āryabhaṭas bord var det första sinusbordet som någonsin konstruerats i matematikens historia . De nu förlorade tabellerna för Hipparchos (ca 190 f.Kr. - ca. 120 f.Kr.) och Menelaos (ca. 70–140 e.Kr.) och de av Ptolemaios (ca. 90 e.Kr. - ca. 168) var alla ackordtabeller och inte halva tabeller -ackord. Āryabhaṭas bord förblev som standardsinusbordet i det antika Indien. Det gjordes kontinuerliga försök att förbättra noggrannheten i denna tabell. Madhava från Sangamagrama (ca 1350 - ca 1425), grundaren av Kerala skolan för astronomi och matematik, upptäckte sinus- och cosinusfunktionernas effektserieexpansion, och tabuleringen av en sinustabell . av Madhava med värden exakta till sju eller åtta decimaler.
Vissa matematikhistoriker har hävdat att sinustabellen i Āryabhaṭiya var en anpassning av tidigare sådana tabeller konstruerade av matematiker och astronomer från det antika Grekland. David Pingree , en av USA:s främsta historiker av de exakta vetenskaperna under antiken, var en exponent för en sådan uppfattning. Om man antar denna hypotes, GJ Toomer : "Det finns knappast någon dokumentation för den tidigaste ankomsten av grekiska astronomiska modeller till Indien, eller för den delen hur dessa modeller skulle ha sett ut. Så det är mycket svårt att fastställa i vilken utsträckning det har kommit ner till oss representerar överförd kunskap, och det som är originellt med indiska vetenskapsmän... Sanningen är förmodligen en trasslig blandning av båda."
Bordet
I moderna notationer
Värdena som är kodade i Āryabhaṭas sanskritvers kan avkodas med hjälp av det numeriska schemat som förklaras i Āryabhaṭīya , och de avkodade talen listas i tabellen nedan. I tabellen listas de vinkelmått som är relevanta för Āryabhaṭas sinustabell i den andra kolumnen. Den tredje kolumnen innehåller listan över siffrorna i sanskritversen som anges ovan i Devanagari -skrift. För att underlätta för användare som inte kan läsa Devanagari, återges dessa ordsiffror i den fjärde kolumnen i ISO 15919- translitteration. Nästa kolumn innehåller dessa siffror i hindu-arabiska siffror . Āryabhaṭas tal är de första skillnaderna i värdena på sinus. Motsvarande värde på sinus (eller mer exakt, för jya ) kan erhållas genom att summera skillnaderna upp till den skillnaden. Således är värdet på jya motsvarande 18° 45′ summan 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105. För att bedöma noggrannheten i Āryabhaṭas beräkningar ges de moderna värdena för jya s i tabellens sista kolumn.
I den indiska matematiska traditionen är sinus (eller jya ) för en vinkel inte ett förhållande mellan tal. Det är längden på ett visst linjesegment, ett visst halvackord. Bascirkelns radie är grundläggande parameter för konstruktionen av sådana tabeller. Historiskt har flera tabeller konstruerats med olika värden för denna parameter. Āryabhaṭa har valt talet 3438 som värdet på radien för bascirkeln för beräkningen av sin sinustabell. Grunden för valet av denna parameter är idén att mäta omkretsen av en cirkel i vinkelmått. I astronomiska beräkningar mäts avstånden i grader , minuter , sekunder , etc. I detta mått är omkretsen av en cirkel 360° = (60 × 360) minuter = 21600 minuter. Cirkelns radie, vars omkretsmått är 21600 minuter, är 21600 / 2π minuter. Om man beräknar detta med värdet π = 3,1416 känt för Aryabhata får man cirkelns radie som 3438 minuter ungefär. Āryabhaṭas sinustabell är baserad på detta värde för bascirkelns radie. Det har ännu inte fastställts vem som är den första någonsin att använda detta värde för basradien. Men Aryabhatiya är den tidigaste bevarade texten som innehåller en hänvisning till denna grundläggande konstant.
| Sl. Nej |
Vinkel (A) (i grader , bågminuter ) |
Värde i Āryabhaṭas numeriska notation (i Devanagari ) |
Värde i Āryabhaṭas numeriska notation (i ISO 15919 translitteration) |
Värde i hindu-arabiska siffror |
Āryabhaṭas värde av jya (A) |
Modernt värde av jya (A) (3438 × sin (A)) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 |
03° 45′
|
मखि
|
makhi
|
225
|
225′
|
224,8560
|
| 2 |
07° 30′
|
भखि
|
bhakhi
|
224
|
449′
|
448,7490
|
| 3 |
11° 15′
|
फखि
|
phakhi
|
222
|
671′
|
670,7205
|
| 4 |
15° 00′
|
धखि
|
dhakhi
|
219
|
890′
|
889,8199
|
| 5 |
18° 45′
|
णखि
|
ṇakhi
|
215
|
1105′
|
1105.1089
|
| 6 |
22° 30′
|
ञखि
|
ñakhi
|
210
|
1315′
|
1315.6656
|
| 7 |
26° 15′
|
ङखि
|
ṅakhi
|
205
|
1520′
|
1520.5885
|
| 8 |
30° 00′
|
हस्झ
|
hasjha
|
199
|
1719′
|
1719.0000
|
| 9 |
33° 45′
|
स्ककि
|
skaki
|
191
|
1910′
|
1910.0505
|
| 10 |
37° 30′
|
किष्ग
|
kiṣga
|
183
|
2093′
|
2092.9218
|
| 11 |
41° 15′
|
श्घकि
|
śghaki
|
174
|
2267′
|
2266.8309
|
| 12 |
45° 00′
|
किघ्व
|
kighva
|
164
|
2431′
|
2431.0331
|
| 13 |
48° 45′
|
घ्लकि
|
ghlaki
|
154
|
2585′
|
2584.8253
|
| 14 |
52° 30′
|
किग्र
|
kigra
|
143
|
2728′
|
2727.5488
|
| 15 |
56° 15′
|
हक्य
|
hakya
|
131
|
2859′
|
2858.5925
|
| 16 |
60° 00′
|
धकि
|
dhaki
|
119
|
2978′
|
2977.3953
|
| 17 |
63° 45′
|
किच
|
kica
|
106
|
3084′
|
3083.4485
|
| 18 |
67° 30′
|
स्ग
|
sga
|
93
|
3177′
|
3176.2978
|
| 19 |
71° 15′
|
झश
|
jhaśa
|
79
|
3256′
|
3255.5458
|
| 20 |
75° 00′
|
ङ्व
|
ṅva
|
65
|
3321′
|
3320,8530
|
| 21 |
78° 45′
|
क्ल
|
kla
|
51
|
3372′
|
3371,9398
|
| 22 |
82° 30′
|
प्त
|
pta
|
37
|
3409′
|
3408.5874
|
| 23 |
86° 15′
|
फ
|
pha
|
22
|
3431′
|
3430,6390
|
| 24 |
90° 00′
|
छ
|
cha
|
7
|
3438′
|
3438.0000
|
Āryabhaṭas beräkningsmetod
Den andra delen av Āryabhaṭiya, med titeln Ganitapādd, a innehåller en strof som indikerar en metod för beräkning av sinustabellen. Det finns flera oklarheter i att korrekt tolka innebörden av denna vers. Till exempel är följande en översättning av versen som ges av Katz där orden inom hakparenteser är infogningar av översättaren och inte översättningar av texter i versen.
- "När det partitionerade andra halvackordet är mindre än det första halvackordet, vilket är [ungefär lika med] den [motsvarande] bågen, med en viss mängd, är de återstående [sinusskillnaderna] mindre [än den föregående ettor] var och en med samma belopp som delat med det första halvackordet."
Detta kan syfta på det faktum att andraderivatan av sinusfunktionen är lika med minusfunktionen av sinusfunktionen.