Bhaskara I:s sinusapproximationsformel

Inom matematik är Bhaskara I:s sinusapproximationsformel ett rationellt uttryck i en variabel för beräkning av de ungefärliga värdena för de trigonometriska sinusen som upptäcktes av Bhaskara I (ca 600 – ca 680), en indisk matematiker från sjunde århundradet . Denna formel ges i hans avhandling med titeln Mahabhaskariya . Det är inte känt hur Bhaskara I kom fram till sin approximationsformel. Men flera matematikhistoriker har lagt fram olika hypoteser om den metod Bhaskara kan ha använt för att komma fram till sin formel . Formeln är elegant, enkel och gör att man kan beräkna någorlunda exakta värden på trigonometriska sinus utan att använda någon som helst geometri.

Approximationsformeln

Formeln ges i verserna 17 – 19, kapitel VII, Mahabhaskariya av Bhaskara I. En översättning av verserna ges nedan:

(Nu) Jag anger kort regeln (för att hitta bhujaphala och kotiphala, etc.) utan att använda Rsine-skillnaderna 225, etc. Subtrahera graderna för en bhuja (eller koti ) från graderna i en halvcirkel ( det vill säga 180 grader). Multiplicera sedan resten med graderna av bhuja eller koti och lägg ner resultatet på två ställen. På ett ställe subtrahera resultatet från 40500. Med en fjärdedel av resten (sålunda erhållet), dividera resultatet på den andra platsen multiplicerat med ' anthyaphala (det vill säga den epicykliska radien). På så sätt erhålls hela bahuphala (eller kotiphala ) för solen, månen eller stjärnplaneterna. Så erhålls också de direkta och omvända Rsines.

(Referensen "Rsine-differences 225" är en anspelning på Aryabhatas sinustabell .)

I moderna matematiska notationer, för en vinkel x i grader, ger denna formel

\sin x^{\circ }\approx {\frac {4x(180-x)}{40500-x(180 -x)}}

Likvärdiga former av formeln

Bhaskara I:s sinusapproximationsformel kan uttryckas med hjälp av radianmåttet på vinklar enligt följande.

\sin x\approx {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}}.

För ett positivt heltal n tar detta följande form:

\sin {\frac {\pi }{n}}\approx {\frac {16(n-1)}{5n^{2}-4n+4}}.

Formeln får en ännu enklare form när den uttrycks i termer av cosinus snarare än sinus. Använda radianmått för vinklar från $-{\frac {\pi }{2}}$ till ${\frac {\pi }{2}}$ och sätta $x={\tfrac {1}{2}}\pi +y$ , man får

\cos y\approx {\frac {\pi ^{2}-4y^{2}}{\pi ^{2}+y^{2}}}.

För att uttrycka föregående formel med konstanten $\tau =2\pi$ kan man använda

\cos y\approx 1-{\frac {20y^{2}}{4y^{2}+\tau ^{2}}}

Motsvarande former av Bhaskara I:s formel har givits av nästan alla efterföljande astronomer och matematiker i Indien. Till exempel, Brahmaguptas (598 – 668 CE ) Brhma-Sphuta-Siddhanta (verserna 23 – 24, kapitel XIV) ger formeln i följande form:

R\sin x^{\circ }\approx {\frac {Rx(180-x)}{10125 -{\frac {1}{4}}x(180-x)}}

Dessutom har Bhaskara II (1114 – 1185 CE ) gett denna formel i sin Lilavati (Kshetra-vyavahara, Soka No.48) i följande form:

2R\sin x^{\circ }\approx {\frac {4\times 2R\times 2Rx\times (360R-2Rx)}{{\frac {1}{4}}\times 5\times (360R)^ {2}-2Rx\ gånger (360R-2Rx)}}

Formelns noggrannhet

Figuren illustrerar nivån av noggrannhet för Bhaskara I:s sinusapproximationsformel. De förskjutna kurvorna 4 x ( 180 - x ) / ( 40500 - x ( 180 - x ) ) - 0,2 och sin ( x ) + 0,2 ser ut som exakta kopior av kurvan sin ( x ).

Formeln är tillämplig för värden på x ° i intervallet från 0 till 180. Formeln är anmärkningsvärt exakt i detta intervall. Graferna för sin ( x ) och approximationsformeln är visuellt omöjliga att särskilja och är nästan identiska. En av de bifogade figurerna visar grafen för felfunktionen, nämligen funktionen,

\sin x^{\circ }\approx {\frac {4x(180-x)}{40500-x(180 -x)}}

att använda formeln. Det visar att det maximala absoluta felet vid användning av formeln är runt 0,0016. Från en plottning av det procentuella värdet av det absoluta felet är det tydligt att det maximala procentuella felet är mindre än 1,8. Approximationsformeln ger alltså tillräckligt exakta värden på sinus för de flesta praktiska ändamål. Det var dock inte tillräckligt för astronomis mer exakta beräkningskrav. Indiska astronomers sökande efter mer exakta formler ledde så småningom till upptäckten av kraftserieexpansionerna av sin x och cos x av Madhava från Sangamagrama (ca 1350 – ca 1425), grundaren av Kerala skola för astronomi och matematik .

Graf över felet i Bhaskara I:s sinusapproximationsformel

Graf över det procentuella felet i Bhaskara I:s sinusapproximationsformel

Härledning av formeln

Bhaskara hade inte angett någon metod genom vilken han kom fram till sin formel. Historiker har spekulerat i olika möjligheter. Inga definitiva svar har ännu erhållits. Utöver dess historiska betydelse av att vara ett utmärkt exempel på matematiska prestationer av forntida indiska astronomer, är formeln också av betydelse ur ett modernt perspektiv. Matematiker har försökt härleda regeln med hjälp av moderna begrepp och verktyg. Runt ett halvdussin metoder har föreslagits, var och en baserad på en separat uppsättning premisser. De flesta av dessa härledningar använder endast elementära begrepp.

Härledning baserad på elementär geometri

Låt omkretsen av en cirkel mätas i grader och låt radien R för cirkeln också mätas i grader . Genom att välja en fast diameter AB och en godtycklig punkt P på cirkeln och släppa den vinkelräta PM till AB , kan vi beräkna arean av triangeln APB på två sätt. Genom att likställa de två uttrycken för arean får man (1/2) AB × PM = (1/2) AP × BP . Detta ger

{\frac {1}{PM}}={\frac {AB}{AP\times BP}}.

Låter x vara längden på bågen AP , längden på bågen BP är 180- x . Dessa bågar är mycket större än respektive ackord. Därav får man

{\frac {1}{PM}}>{\frac {2R}{x(180-x)}}

.

Man söker nu två konstanter α och β så att

{\frac {1}{PM}}=\alpha {\frac {2R}{x(180-x)}}+\beta

Det är verkligen inte möjligt att få sådana konstanter. Man kan dock välja värden för α och β så att uttrycket ovan är giltigt för två valda värden på båglängden x . Genom att välja 30° och 90° som dessa värden och lösa de resulterande ekvationerna får man omedelbart Bhaskara I:s sinusapproximationsformel.

Härledning som börjar med ett allmänt rationellt uttryck

Om man antar att x är i radianer, kan man söka en approximation till sin( x ) i följande form:

\sin x\approx {\frac {a+bx+cx^{2}}{p+qx+rx^{ 2}}}

Konstanterna a , b , c , p , q och r (endast fem av dem är oberoende) kan bestämmas genom att anta att formeln måste vara exakt giltig när x = 0, π/6, π/2, π och vidare antar att den måste uppfylla egenskapen att sin( x ) = sin(π - x ). Denna procedur producerar formeln uttryckt med radianmått på vinklar.

Ett elementärt argument

Jämförelse av grafer för parabolerna x (180 − x )/8100 och x (180 − x )/9000 med grafen för sin( x ) ( x i grader).

Den del av grafen för sin( x ) i intervallet från 0° till 180° "ser ut som" en del av en parabel genom punkterna (0, 0) och (180, 0). Den allmänna sådan parabeln är

kx(180-x).

Den parabel som också passerar genom (90, 1) (vilket är den punkt som motsvarar värdet sin(90°) = 1) är

{\frac {x(180-x)}{90\times 90}}={\frac {x(180-x)}{8100}}.

Den parabel som också passerar genom (30, 1/2) (vilket är den punkt som motsvarar värdet sin(30°) = 1/2) är

{\frac {x(180-x)}{2\times 30\times 150}}={\frac {x(180-x)}{9000}}.

Dessa uttryck föreslår en varierande nämnare som tar värdet 90 × 90 när x = 90 och värdet 2 × 30 × 150 när x = 30. Att även detta uttryck ska vara symmetriskt om linjen ' x = 90' utesluter möjligheten att att välja ett linjärt uttryck i x . Beräkningar som involverar x (180 − x ) kan omedelbart antyda att uttrycket kan ha formen

8100a+bx(180-x).

Lite experimenterande (eller genom att sätta upp och lösa två linjära ekvationer i a och b ) kommer att ge värdena a = 5/4, b = −1/4. Dessa ger Bhaskara I:s sinusapproximationsformel.

Se även

Ytterligare referenser

RC.Gupta, Om härledning av Bhaskara I:s formel för sinus, Ganita Bharati 8 (1-4) (1986), 39–41.
T. Hayashi, En anteckning om Bhaskara I:s rationella approximation till sinus, Historia Sci. nr 42 (1991), 45–48.
K. Stroethoff, Bhaskaras approximation för sinus, The Mathematics Enthusiast, Vol. 11, nr 3 (2014), 485–492.