Hurwitz determinant

Inom matematiken introducerades Hurwitz-determinanter av Adolf Hurwitz ( 1895 ), som använde dem för att ge ett kriterium för att alla rötter i ett polynom ska ha negativ reell del.

Definition

Betrakta ett karakteristiskt polynom P i variabeln λ i formen:

$P(\lambda )=a_{0}\lambda ^{n}+a_{1} \lambda ^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_{n}$

där $a_{i}$ , $i=0,1,\ldots ,n$ , är verkliga.

Den kvadratiska Hurwitz-matrisen associerad med P ges nedan:

$H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{ -2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4} &a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.$

Den i-: te Hurwitz-determinanten är den i- :te ledande huvudsakliga minor (minor är en determinant) av ovanstående Hurwitz-matris H . Det finns n Hurwitz-determinanter för ett karakteristiskt polynom av grad n .

Se även

• Överföringsmatris

•   Hurwitz, A. (1895), "Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt", Mathematische Annalen , 46 (2): 273–284, doi : 10.1007 /BF01446812 1210CID 1213ID
•     Wall, HS (1945), "Polynomials vars nollor har negativa verkliga delar", den amerikanska matematiska månadsvis , 52 (6): 308–322, doi : 10.1080/00029890.1945.11991574 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2305291 , MR io0017090909