Yangian

I representationsteorin är en Yangian en oändligt dimensionell Hopf-algebra , en typ av en kvantgrupp . Yangians dök först upp i fysik i arbetet av Ludvig Faddeev och hans skola i slutet av 1970-talet och början av 1980-talet angående den inversa kvantspridningsmetoden . Namnet Yangian introducerades av Vladimir Drinfeld 1985 för att hedra CN Yang .

Inledningsvis ansågs de vara ett bekvämt verktyg för att generera lösningarna i kvant Yang-Baxter-ekvationen .

Yangians centrum kan beskrivas av kvantdeterminanten.

Beskrivning

För varje ändlig-dimensionell halvenkel Lie-algebra a definierade Drinfeld en oändligt dimensionell Hopf-algebra Y ( a ), kallad Yangian av a . Denna Hopf-algebra är en deformation av den universella omslutande algebran U ( a [ z ]) av Lie-algebra av polynomslingor av en given genom explicita generatorer och relationer. Relationerna kan kodas av identiteter som involverar en rationell R -matris . Genom att ersätta den med en trigonometrisk R -matris kommer man fram till affina kvantgrupper, definierade i samma artikel av Drinfeld.

I fallet med den allmänna linjära Lie-algebra gl _N , medger Yangian en enklare beskrivning i termer av en enkel ternär (eller RTT ) relation på matrisgeneratorerna på grund av Faddeev och medförfattare. Yangiansk Y( gl _N ) definieras som den algebra som genereras av elementen $t_{ij}^{(p)}$ med 1 ≤ i , j ≤ N och p ≥ 0, subjekt till relationerna

$[t_{ij}^{(p+1)},t_{kl}^{(q)}]-[t_{ij}^{(p)},t_{kl}^{(q+ 1)}]=-(t_{kj}^{(p)}t_{il}^{(q)}-t_{kj}^{(q)}t_{il}^{(p)}).$

Definierar ${\displaystyle t_{ij}^{(-1)}=\delta _{ij}},$ inställning

$T(z)=\sum _{p\geq -1}t_{ij}^{(p)}z ^{-p+1}$

och genom att introducera R-matrisen R ( z ) = I + z ⁻¹ P på C ^N $\otimes$ C ^N , där P är operatorn som permuterar tensorfaktorerna, ovanstående relationer kan skrivas enklare som ternär relation:

$\displaystyle {R_{12}(zw)T_{1}(z)T_{2}(w)=T_{2}(w)T_{1}(z)R_{12}(zw). }$

Yangian blir en Hopf-algebra med comultiplication Δ, count ε och antipod s ges av

$(\Delta \otimes \mathrm {id} )T(z)=T_{12}(z)T_{13}(z),\,\,(\varepsilon \otimes \mathrm {id} )T (z)=I,\,\,(s\otimes \mathrm {id} )T(z)=T(z)^{-1}.$

Vid speciella värden på spektralparametern $\displaystyle (zw)} degenereras$ { R -matrisen till en projektion i rang ett. Detta kan användas för att definiera kvantdeterminanten för T $\displaystyle T(z)} ,$ som genererar mitten av Yangian.

Den vridna Yangian Y ⁻ ( gl _2N ), introducerad av GI Olshansky, är det koideal som genereras av koefficienterna för

$\displaystyle {S(z)=T(z)\sigma T(-z),}$

där σ är involutionen av gl _2N givet av

$\displaystyle {\sigma (E_{ij})=(-1)^{i+j}E_{2N-j+1,2N-i+1}.}$

Kvantdeterminanten är Yangians centrum.

Ansökningar

Klassisk representationsteori

GI Olshansky och I.Cherednik upptäckte att Yangian av gl _N är nära besläktad med förgreningsegenskaperna hos irreducerbara finitdimensionella representationer av allmänna linjära algebror. I synnerhet har den klassiska Gelfand-Tsetlin-konstruktionen av en bas i utrymmet för en sådan representation en naturlig tolkning på Yangians språk, studerat av M.Nazarov och V.Tarasov. Olshansky, Nazarov och Molev upptäckte senare en generalisering av denna teori till andra klassiska Lie-algebror , baserade på den vridna Yangian.

Fysik

Yangian uppträder som en symmetrigrupp i olika modeller inom fysiken.

Yangian uppträder som en symmetrigrupp av endimensionella exakt lösbara modeller som spinnkedjor , Hubbard-modell och i modeller av endimensionell relativistisk kvantfältteori .

Den mest kända händelsen är i plan supersymmetrisk Yang-Mills teori i fyra dimensioner, där yangianska strukturer uppträder på nivån av symmetrier för operatorer och spridningsamplitud som upptäcktes av Drummond, Henn och Plefka .

Representationsteori

Irreducible finita dimensionella representationer av Yangians parametriserades av Drinfeld på ett sätt som liknar den högsta viktteorin i representationsteorin för semisimpla Lie-algebror. Rollen som den högsta vikten spelas av en ändlig uppsättning Drinfeld-polynom . Drinfeld upptäckte också en generalisering av den klassiska Schur-Weyl-dualiteten mellan representationer av allmänna linjära och symmetriska grupper som involverar Yangian av sl _N och den degenererade affina Hecke-algebra (graderad Hecke-algebra av typ A, i George Lusztigs terminologi).

Representationer av Yangians har studerats omfattande, men teorin är fortfarande under aktiv utveckling.

Se även

• Kvantaffin algebra

Anteckningar

•   Chari, Vyjayanthi ; Andrew Pressley (1994). En guide till kvantgrupper . Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press . ISBN 0-521-55884-0 .
• Drinfeld, Vladimir Gershonovich (1985). Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера [Hopf-algebror och kvant-Yang–Baxter-ekvationen]. Doklady Akademii Nauk SSSR (på ryska). 283 (5): 1060–1064.
• Drinfeld, VG (1987). "En ny insikt om Yangians och kvantaffina algebror". Doklady Akademii Nauk SSSR (på ryska). 296 (1): 13–17. Översatt i sovjetisk matematik - Doklady . 36 (2): 212–216. 1988. {{ citera journal }} : Saknas eller är tomt |title= ( hjälp )
•    Drinfeld, VG (1986). Вырожденные аффинные алгебры Гекке и янгианы [Degenererade affina Hecke-algebror och Yangians]. Funktsional'nyi Analiz I Ego Prilozheniya (på ryska). 20 (1): 69–70. MR 0831053 . Zbl 0599.20049 . Översatt i   Drinfeld, VG (1986). "Degenererade affina hecke algebror och Yangians". Funktionsanalys och dess tillämpningar . 20 (1): 58–60. doi : 10.1007/BF01077318 . S2CID 119659066 .
•   Molev, Alexander Ivanovich (2007). Yangians och klassisk lögnalgebras . Matematiska undersökningar och monografier. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-4374-1 .
•   Bernard, Denis (1993). "En introduktion till yangianska symmetrier". NATO ASI-serien . 310 (5): 39–52. arXiv : hep-th/9211133 . doi : 10.1007/978-1-4899-1516-0_4 . ISBN 978-1-4899-1518-4 .
•   MacKay, Niall (2005). "Introduktion till Yangiansk symmetri i integrerad fältteori". International Journal of Modern Physics A . 20 (30): 7189–7217. arXiv : hep-th/0409183 . Bibcode : 2005IJMPA..20.7189M . doi : 10.1142/s0217751x05022317 . S2CID 10256766 .
•   Drummond, James; Henn, Johannes; Plefka, Jan (2009). "Yangiansk symmetri av spridningsamplituder i N = 4 super Yang-Mills Theory". Journal of High Energy Physics . 2009 (5): 046. arXiv : 0902.2987 . Bibcode : 2009JHEP...05..046D . doi : 10.1088/1126-6708/2009/05/046 . S2CID 15627964 .