Witting polytop

Witting polytop
Schläfli symbol	3 {3} 3 {3} 3 {3} 3
Coxeter diagram
Celler	240 3 {3} 3 {3} 3
Ansikten	2160 3 {3} 3
Kanter	2160 3 {}
Vertices	240
Petrie polygon	30-gon
van Oss polygon	90 3 {4} 3
Shephard-gruppen	L 4 = 3 [3] 3 [ 3] 3 [3] 3 , order 155 520
Dubbel polyeder	Självdubbel
Egenskaper	Regelbunden

I 4-dimensionell komplex geometri är Witting -polytopen en vanlig komplex polytop , som heter: ₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃ och Coxeter-diagram . Den har 240 hörn, 2160 ₃ {} kanter, 2160 ₃ {3} ₃ ytor och 240 ₃ {3} ₃ {3} ₃ celler. Den är självdual. Varje vertex tillhör 27 kanter, 72 ytor och 27 celler, vilket motsvarar den hessiska polyhedronens vertexfigur .

Symmetri

Dess symmetri med ₃ [3] ₃ [3] ₃ [3] ₃ eller , order 155.520. Den har 240 exemplar av , beställ 648 vid varje cell.

Strukturera

Konfigurationsmatrisen är: $&231\6&7&8&232\6&7&8&231\2\6&8&232\6 7&240\end{smallmatrix} }\höger]}$ smallmatrix }240&27&72&27\\&

Antalet hörn, kanter, ytor och celler ses i matrisens diagonal. Dessa beräknas av gruppens ordning dividerad med undergruppens ordning, genom att ta bort vissa komplexa reflektioner, som visas med X nedan. Antalet element i k-ytorna ses i rader under diagonalen. Antalet element i vertexfiguren etc. anges i rader ovanför digonalen.

L 4		k -ansikte	f k	f0	f 1	f 2	f 3	k -figur	Anteckningar
L 3		( )	f0	240	27	72	27	3 {3} 3 {3} 3	L4 /L3 = 216*6!/27/4 ! = 240
L 2 L 1		3 { }	f 1	3	2160	8	8	3 {3} 3	L 4 /L 2 L 1 = 216*6!/4!/3 = 2160
		3 {3} 3	f 2	8	8	2160	3	3 { }
L 3		3 {3} 3 {3} 3	f 3	27	72	27	240	( )	L4 /L3 = 216*6!/27/4 ! = 240

Dess 240 hörn ges koordinater i $\mathbb {C} ^{4}$ :

(0, ±ω μ , -±ω ν , ±ω λ ) (-±ω μ , 0, ±ω ν , ±ω λ ) (±ω μ , -±ω ν , 0, ±ω λ ) (- ±ω λ , -±ω μ , -±ω ν , 0)

(±iω λ √3, 0, 0, 0) (0, ±iω λ √3, 0, 0) (0, 0, ±iω λ √3, 0) (0, 0, 0, ±iω λ √ 3)

där $\omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\lambda , \nu ,\mu =0,1,2$ .

De sista 6 punkterna bildar sexkantiga hål på en av dess 40 diametrar. Det finns 40 hyperplan som innehåller centrala ₃ {3} ₃ {4} ₂ , figurer, med 72 hörn.

Witting konfiguration

Coxeter döpte den efter Alexander Witting för att vara en Witting- konfiguration i komplext projektivt 3-rum:

$right]$$\left[{\begin{smallmatrix}40&9&12\\4&90&4\\12&9&40\end{smallmatrix}}\right]$ eller

Witting-konfigurationen är relaterad till det finita rymden PG(3,2 ² ), som består av 85 punkter, 357 linjer och 85 plan.

Relaterad äkta polytop

Dess 240 hörn delas med den riktiga 8-dimensionella polytopen 4 ₂₁ , . Dess 2160 3-kanter ritas ibland som 6480 enkla kanter, något mindre än 6720 kanter på 4 ₂₁ . Skillnaden på 240 står för 40 centrala hexagoner i 4 ₂₁ vars kanter inte ingår i ₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃ .

Bikakan av Witting-polytoper

Den vanliga Witting-polytopen har ytterligare ett steg som en 4-dimensionell bikaka , . Den har Witting-polytopen som både dess facetter och vertexfigur. Den är självdual och dess dual sammanfaller med sig själv.

Hyperplansektioner av denna honeycomb inkluderar 3-dimensionella honeycombs .

Witting-polytopernas bikaka har en verklig representation som den 8-dimensionella polytopen 5 ₂₁ , .

Antalet f-vektorelement är i proportion: 1, 80, 270, 80, 1. Konfigurationsmatrisen för honungskakan är:

L 5		k -ansikte	f k	f0	f 1	f 2	f 3	f 4	k -figur	Anteckningar
L 4		( )	f0	N	240	2160	2160	240	3 {3} 3 {3} 3 {3} 3	L5 / L4 = N _
L 3 L 1		3 { }	f 1	3	80N	27	72	27	3 {3} 3 {3} 3	L5 / L3L1 = 80 N _ _
L 2 L 2		3 {3} 3	f 2	8	8	270N	8	8	3 {3} 3	L5 / L2L2 = 270 N _ _
L 3 L 1		3 {3} 3 {3} 3	f 3	27	72	27	80N	3	3 {}	L5 / L3L1 = 80 N _ _
L 4		3 {3} 3 {3} 3 {3} 3	f 4	240	2160	2160	240	N	( )	L5 / L4 = N _

Anteckningar

• Coxeter, HSM och Moser, WOJ; Generatorer och relationer för diskreta grupper (1965), s. 67–80.
• Coxeter, HSM ; Regular Complex Polytopes , Cambridge University Press, andra upplagan (1991). s. 132–5, 143, 146, 152.
• Coxeter, HSM och Shephard, GC; Porträtt av en familj av komplexa polytoper, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), s 239–244 [1]