Möbius–Kantors polygon

Möbius–Kantor polygon
Ortografisk projektion visas här med 4 röda och 4 blå 3- kantstrianglar .
Shephard symbol	3(24)3
Schläfli symbol	3 {3} 3
Coxeter diagram
Kanter	8 3 {}
Vertices	8
Petrie polygon	Oktogon
Shephard-gruppen	3 [3] 3 , order 24
Dubbel polyeder	Självdubbel
Egenskaper	Regelbunden

Inom geometri är Möbius –Kantor-polygonen en vanlig komplex polygon ₃ {3} ₃ , , i $\mathbb {C} ^{2}$ . ₃ {3} ₃ har 8 hörn och 8 kanter. Den är självdual. Varje vertex delas av 3 triangulära kanter. Coxeter kallade den en Möbius-Kantor-polygon för att dela den komplexa konfigurationsstrukturen som Möbius-Kantor-konfigurationen, (8 ₃ ).

Upptäckt av GC Shephard 1952, representerade han den som 3(24)3, med dess symmetri, Coxeter kallad som ₃ [3] ₃ , isomorf till den binära tetraedriska gruppen , ordning 24.

De 8 vertexkoordinaterna för denna polygon kan anges i ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}} ,$ som:

( ω ,−1,0)	(0, ω ,− ω 2 )	( ω 2 ,−1,0)	(−1,0,1)
(− ω ,0,1)	(0, ω 2 ,− ω )	(− ω 2 ,0,1)	(1,−1,0)

där $\omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$ .

Som en konfiguration

Konfigurationsmatrisen för ₃ {3} ₃ är: ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}8&3\\3&8\end{smallmatrix}}\right]$ }

Verklig representation

Den har en verklig representation som 16-cellen , , i 4-dimensionell rymd, som delar samma 8 hörn. De 24 kanterna i 16-cellen ses i Möbius–Kantor-polygonen när de 8 triangulära kanterna är ritade som 3-separerade kanter. Trianglarna representeras 2 uppsättningar av 4 röda eller blå konturer. B ₄ -projektionerna ges i två olika symmetriorienteringar mellan de två färguppsättningarna.

ortografiska projektioner

Plan	B 4		F 4
Graf
Symmetri	[8]		[12/3]

Besläktade polytoper

Denna graf visar de två alternerade polygonerna som en sammansättning i rött och blått 3 {3} 3 i dubbla positioner.

3 {6} 2 , eller , med 24 hörn i svart och 16 3-kanter färgade i 2 uppsättningar av 3-kanter i rött och blått.

Det kan också ses som en växling av , representerad som . har 16 hörn och 24 kanter. En sammansättning av två, i dubbla positioner, och , kan representeras som , innehåller alla 16 hörn av .

Trunkeringen , är densamma som den vanliga polygonen, ₃ {6} ₂ , . Dess kantdiagram är cayleydiagrammet för ₃ [3] ₃ .

Den regelbundna hessiska polyedern 3 _{3} 3 _{3} 3 _har denna polygon som en facett- och vertexfigur .

Anteckningar

• Shephard, GC ; Regelbundna komplexa polytoper, Proc. London matematik. Soc. Series 3, Vol 2, (1952), s 82–97.
• Coxeter, HSM och Moser, WOJ; Generatorer och relationer för diskreta grupper (1965), s. 67–80.
• Coxeter, HSM ; Regular Complex Polytopes , Cambridge University Press, (1974), andra upplagan (1991).
• Coxeter, HSM och Shephard, GC; Porträtt av en familj av komplexa polytoper, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), s 239–244 [1]