Wijsman konvergens

Wijsman-konvergens är en variant av Hausdorff-konvergens som är lämplig för arbete med obegränsade uppsättningar . Intuitivt är Wijsman-konvergens till konvergens i Hausdorff-måttet som punktvis konvergens är till enhetlig konvergens .

Historia

Konvergensen definierades av Robert Wijsman. Samma definition användes tidigare av Zdeněk Frolík . Ännu tidigare definierade Hausdorff i sin bok Grundzüge der Mengenlehre så kallade slutna gränser ; för korrekta metriska utrymmen är det samma som Wijsman-konvergens.

Definition

Låt ( X , d ) vara ett metriskt mellanrum och låt Cl( X ) beteckna samlingen av alla d -slutna delmängder av X . För en punkt x ∈ X och en mängd A ∈ Cl( X ), sätt

$d(x,A)=\inf _{a\in A}d(x,a).$

En sekvens (eller netto ) av mängder A _i ∈ Cl( X ) sägs vara Wijsman konvergent till A ∈ Cl( X ) om, för varje x ∈ X ,

$d(x,A_{i})\till d(x,A).$

Wijsman-konvergens inducerar en topologi på Cl( X ), känd som Wijsman-topologin .

Egenskaper

• Wijsman-topologin beror mycket starkt på metriken d . Även om två mått är enhetligt ekvivalenta, kan de generera olika Wijsman-topologier.
• Beers sats : om ( X , d ) är ett komplett , separerbart metriskt utrymme, så är Cl( X ) med Wijsman-topologin ett polskt utrymme , dvs det är separerbart och metriserbart med ett komplett mått.
• Cl( X ) med Wijsman-topologin är alltid ett Tychonoff-rum . Dessutom har man Levi-Lechicki-satsen : ( X , d ) är separerbar om och endast om Cl( X ) är antingen metriserbar, första-räknbar eller andra-räknbar .
• Om den punktvisa konvergensen av Wijsman-konvergensen ersätts med enhetlig konvergens (likformigt i x ), så erhåller man Hausdorff-konvergens, där Hausdorff-måttet ges av

$d_{\mathrm {H} }(A,B)=\sup _{x\in X}{\big |}d(x,A)-d(x,B){\big |}.$

Hausdorff och Wijsman topologierna på Cl( X ) sammanfaller om och endast om ( X , d ) är ett totalt avgränsat rum .

Se även

• Hausdorff avstånd
• Kuratowski konvergens
• Vietoris topologi
• Hemikontinuitet

Anteckningar

Bibliografi

•   Beer, Gerald (1993). Topologier på slutna och slutna konvexa uppsättningar . Matematik och dess tillämpningar 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. s. xii+340. ISBN 0-7923-2531-1 . MR 1269778
• Beer, Gerald (1994). "Wijsman-konvergens: en undersökning". Set-värderad Anal . 2 (1–2): 77–94. doi : 10.1007/BF01027094 . MR 1285822

externa länkar

• Som Naimpally (2001) [1994], "Wijsman convergence" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press